Quadratzahl und der Rest beim Dividieren...
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06.03.2004, 19:28 Compy Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratzahl und der Rest beim Dividieren...
Moin moin,

Also ich wusste nicht, wohin mit diesem Post...und auch nicht, ob er schon einmal auftauchte..aber trotzdem:

Folgende Aussage ist zu veri- / falsifizieren:

- Man nehme eine ungerade Quadratzahl (9, 25, 49, 81 ...).
- Man teile sie durch 8

Dabei ergibt sich immer der Rest 1.

---

Nun ist die frage, "warum"...
Ich hab mir auch schon den Kopf drüber zerbrochen, scheitere aber immer an Problemen wie

- Wie stelle ich einen Rest dar

Wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte (*letzte Hoffnung*)

Danke für Antworten, MfG Compy
06.03.2004, 20:03 marc Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Compy,

teilt man eine ganze Zahl n durch q, so kann man schreiben:

n = k*q + r

wobei r<q.
r nennt man dann den Rest.

Eine ungerade Zahl n kann man übrigens schreiben als n = 2m+1.

Damit dürfte es dir eigentlich möglich sein, die Behauptung zu zeigen/zu wiederlegen (ich habe es noch nicht probiert).

HTH,
Marc
06.03.2004, 20:06 Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Das ist eine schöne Aufgabe :-)

Beh.: n aus IN, ungerade => n²=a*8 + 1 (wobei a aus IN ist)

Bew.:
n²=a*8 + 1 äquivalent zu
n²-1=2*2*2*a äquivalent zu
(n+1)*(n-1)=2*2*2*a

Weil n ungerade ist, sind (n+1) und (n-1) gerade, also durch zwei teilbar!
(n+1) und (n-1) sind zwei aufeinanderfolgende gerade natürlich Zahlen => eine von beiden ist durch 4 teilbar!

Wenn jetzt ein von beiden durch 4 und die andere durch 2 teilbar ist, dann ist das Produkt durch 2*4=8 teilbar.

Fertig.


Gruß Anirahtak.

EDIT: @marc: muss es nicht heißen r<q und nicht r<k???
06.03.2004, 20:18 marc Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

2Anirahtak: Ja, natürlich, es müßte r<q heißen. Danke, ich hab's verbessert.

Da die Aufgabe ja nun gelöst ist, hier noch eine Lösung:

(2m+1)² = k*8+r

<=> 4m²+4m+1 = k*8+r
<=> 4(m²+m)+1 = k*8+r
<=> 4*(m+1)*m+1 = k*8+r

Nun ist (m+1)*m das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen, wesegen diese durch 2 teilbar ist, es gibt also eine Zahl s, so dass 2s = (m+1)*m

<=> 4*2*s+1 = k*8+r
<=> 8*s+1 = k*8+r

=> k=s und r=1 (wegen r<8 ).

Aber die beiden Beweise sind natürlich trotzdem sehr ähnlich.

Alles Gute,
Marc
07.03.2004, 08:51 Compy Auf diesen Beitrag antworten »

Also, vielen Dank erst einmal!

Und nun noch zum Verständnis (ich verwende marc's letzten Post):

Zitat:

(2m+1)² = k*8+r

-> is klar... Zahl verdoppeln gibt immer ne gerade Zahl, plus 1...
-> k ist der Ganzzahlige Anteil, r der Rest...

Zitat:

<=> 4m²+4m+1 = k*8+r

-> 1. binomische Formel

Zitat:

<=> 4(m²+m)+1 = k*8+r

-> Ausklammern

Zitat:

<=> 4*(m+1)*m+1 = k*8+r

-> Umformen -> 4*(m+1)*m = (4m + 4) * m +1 = 4m^2 + 4m +1

Zitat:

Nun ist (m+1)*m das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen, wesegen diese durch 2 teilbar ist, es gibt also eine Zahl s, so dass 2s = (m+1)*m

-> *grübel*...stimmt... gerade mal ungerade enthält wenigstens den Primfaktor 2...

[quot]
<=> 4*2*s+1 = k*8+r
[/quot]
-> klar...(m+1)*m ersetzt durch 2s

[quot]
<=> 8*s+1 = k*8+r
[/quot]
-> Umformen

[quot]
=> k=s und r=1 (wegen r<8 ).
[/quot]
-> Das versteh ich nicht...
Was, wenn r nicht 1 wäre?

Vielen Dank nochmal, MfG Compy

1.edit: wegen fehlendem Tag...
07.03.2004, 14:15 Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte anstatt (2m+1), (2m-1) geschrieben...
sonst kannst du 1 nicht darstellen, nur wenn man 0 als natürliche Zahl betrachtet Augenzwinkern

Ich hätte auch diesen Ansatz verwendet...aber bin leider zu spät smile

mfg
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07.03.2004, 17:25 Compy Auf diesen Beitrag antworten »

könnte mir trotzdem jemand dieses

Zitat:

=> k=s und r=1 (wegen r<8 ).


erklären?
07.03.2004, 17:38 Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
8*s+1 = k*8+r

s = k

=>
Zitat:
8*k+1 = k*8+r


nach r auflösen:
r = 1 Augenzwinkern

mfg
07.03.2004, 17:45 marc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Compy
könnte mir trotzdem jemand dieses

Zitat:

=> k=s und r=1 (wegen r<8 ).


erklären?


Na, gutsmile

Wir hatten gefunden:
8s+1=8k+r
<=> 8s-8k = r-1
<=> 8*(s-k) = r-1

Nun war 0<=r<8, d.h. r-1 liegt zwischen -1 und 6 (-1<=r-1<=6)

Wenn du dir die letzte Gleichung oben noch einmal ansiehst, steht dort: Ein (ganzzahliges) Vielfaches von 8 muß eine der Zahlen [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] sein; das ist offenbar nur für s=k möglich, denn dann ist 8*0 = 0;
r ist dann r=1.

HTH,
Marc
09.03.2004, 18:46 Compy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

8s+1=8k+r
<=> 8s-8k = r-1
<=> 8*(s-k) = r-1


vollkommen klar...

Zitat:

Nun war 0<=r<8, d.h. r-1 liegt zwischen -1 und 6 (-1<=r-1<=6)


Warum sollte r >= 0 und <8 sein?

Zitat:

Wenn du dir die letzte Gleichung oben noch einmal ansiehst, steht dort: Ein (ganzzahliges) Vielfaches von 8 muß eine der Zahlen [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] sein; das ist offenbar nur für s=k möglich, denn dann ist 8*0 = 0;
r ist dann r=1.


Das will/kann ich einfach nicht verstehen...sorry

Aber trotzdem Danke!

MFG Compy
09.03.2004, 20:30 marc Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Compy,

ich hatte ja geschrieben:

Zitat:
n = k*q + r
wobei r<q.
r nennt man dann den Rest.


Damit ist schon mal klar, dass r < 8 ist, da q=8.

Und natürlich ist r>=0, das erkläre ich mal so: n = k*q+r bedeutet, dass das q k-mal in das n reinpasst, aber r übrig bleiben

Beispiel:
Du hast 23 Äpfel (n=23) und willst sie auf 8 Freunde (q=8 ) verteilen.

Jeder Freund bekommt zwei Äpfel (k=2), es bleiben 7 Stück (r=7) übrig.

Also ist 23 = 2*8 + 7

Alles klar?
Marc
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