Abstand zwischen windschiefen Geraden

Neue Frage »

SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zwischen windschiefen Geraden
Hallo,

es handelt sich um die folgende angehängte Aufgabe.

Zur Aufgabe a):

Da habe ich bereits eigentlich alles augfestellt und gerechnet was zu rechnen ist, nur komme ich auf das falsche Ergebnis, ich weiß schon was rauskommen müsste (nicht vektoriell überlegt) und das kommt aber aufgrund eines Vorzeichenfehler (denke ich mal) nicht raus.

Also ich habe die Gerade für den Cargo-Lifter aufgestellt:



und die Gerade für den Turm:




Dann den aus den beiden Richtungsvektoren gebildet, welcher ergbibt. Und der Betrag davon ist 5.

Dann die .



und das gibt was unlogisch ist.

Es müsste genau (-)100m rauskommen normalerweise aus dem Klammerausdruck und das dann durch 5 gäbe 20m als Abstand zwischen g und h.

Dann mit Lift (12) und Turm (9) gibt 21m würde es gerade so hängen bleiben.

Kann mir vielleicht jemand sagen, wieso ich nicht auf die (-)100 bzw. dann (-)20 komme?

Dankeschön..
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja mal eine anspruchsvolle Aufgabe mit (etwas weit hergeholtem) praktischen Bezug, ich bin gespannt, ob dir jemand helfen kann.
Leider schon ein bißchen spät heute nacht ...
 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
bei der HNF von d(g;h) fehlend die betragsstriche, dann wird das ergebnis auch positiv.

Aber mich interessiert noch, wie du in dem Ortsvektor der Lifter-Geraden auf -584 kommst???


edit:
und wie kommst du auf die Koordinaten des Richtunsvektors der geraden h(Turm))

wenn dass die Höhe des Tums ind er letzten Koordinate sein soll, dann musst du mir erst einmal sagen, woher die kommt. ich kann die nämlich ausm text nicht rauslesen.


edit2:der fehler ist das vorzeichen bei -812 und das du dann die betragsstriche vergessen hast.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
hallo sky
ich habe das mal so umgeschrieben, wie auf landkarten üblich, also norden oben und westen links.

soweit sind wir uns einig, jetzt bin ich so vorgegangen: ebene ermitteln, die den FS - turm enthält und senkrecht zur flugrichtung ist (ohne vertikalbewegung, sozusagen die projektion des ganzen auf die xy-ebene):
E: 4x + 3y = 0
E x g gibt t = 200 und
x = 12, y = 16, z = h = 144

a) D = 20 < 9 + 12 = 21 => peng!
b) d(h) = 20 - 0,5*12 = 14
D = 20 > 7 + 12 = 19 gerade noch einmal gut gegangen!
werner

n.s. soweit mir bekannt, hat der cargolifter aber finanziell eine bauchlandung fabriziert
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
genau hihi, peng *gg*!! bei der hindenburg hats leider peng gemacht!! traurig traurig
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mh...hab ich ja gesagt, das Ergebnis von mir stimmte also, nur die Rechnung war net so ganz...*gg*

Öhm...ja also die -584 ergaben sich ja daraus, dass sich der Lifter 584m westlich befindet und im Hinweis unter der Aufgabe ist gesagt, dass die y-Achse von Westen nach Osten verlaufen soll und da er nun westlich liegt, ist das im Minus-Bereich...daher habe ich -584 geschrieben/genommen.

Ich kann das Ganze also auch genausogut mit einer zweiten Gerade machen und nicht einer Ebene die die Gerade enthält oder?

So wollte ich es, bzw. habe ich es ja gemacht...und die Gerade vom Turm, da ist der Aufpunkt der Koordinatenursprung und der Richtungsvektor ganz einfach in z-Richtung mal nach oben...ist ja im Prinzip egal, Hauptsache mal höher als der Lifter derzeit ist. *g*

Und wo müssen dann genau die Betragsstriche hin? Ich sehe schon was ich rechnen müsste dafür, also |3*-812| - |(-4*-584)|=100 ?

So: ?

Dann hätte ich zwar 'ne positive Zahl, aber keine 100..irgendwie seh ich das grad nicht wirklich..*g*

Naja, dann habe ich für den Abstand d also ja auch die 20 raus mit einer Geraden für den FS-Turm und keiner Ebene und da langt's dann also nicht.

- - -

Und woher weiß ich bei Aufgabe b), dass ich für h=144 einsetzen muss?

Rest ist klar, dann wieder den Abstand 20 beider Geraden oder Gerade/Ebene und wieder die Dicke 14/2 + 24/2 (Lifter) ist dann eben 19 und dann langt's gerade so.

Dankeschön schon mal.. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wie man das koosystem letzlich wählt, steht natürlich frei und ändert nichts am ergebnis
aber ich glaube, da verstehst du etwas falsch: ich schneide die gerade g mit der EBENE E: 4x + 3y = 0, nicht mit einer geraden, und der schnittpunkt hat eben die koo (12/16/ h = 144), das heißt, wen der cargo den turm erreicht, ist das in 144 m höhe, in einem x-abstand von 12 und einem y-abstand von 16 m.
du hast in deiner gleichung einen VZ-fehler (mach doch beim exprodukt immer die probe!), sonst stimmt die welt
werner


bei "meiner methode" erhalte ich den schnittpunkt, den müßtest du noch ermitteln
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja ich meinte ja, dass du die Gerade mit der Ebene schneidest und ich schneide eben nur die beiden Geraden.

Also meinen VZ-Fehler habe ich nun gefunden und korrigiert, jetzt stimmt's.

Ja und zur Aufgabe b) nochmal, da benötige ich ja nun natürlich noch den Schnittpunkt. Und wie kann ich den nun berechnen ohne eine Ebene (die die Gerade des Turms und senkrecht auf die Flugrichtung des Lifters steht)?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du weißt ja jetzt d = 20
und aus der distanzformel erhälst du eine quadratische gl. mit der 2fach wurzel r = 200 und damit h = 344 - 200 = 144
werner


die z-koo. ist ja gleich
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mhm, jetzt weiß ich den Abstand d=20. Und wie komme ich dann genau auf die quadrat. Gl. mit der 2fach-Wurzel aus der ich dann r=200 erhalte und somit da z=h 344-200=144 bekomme?

Wie/Was muss ich da genau in meine einsetzen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die idee: der punkt P liegt auf der z-achse P(0/0/h), der 2. punkt Q liegt auf der geraden g, und er hat dieselbe z - koo wie P. also h,
und d(PQ)^2 = ..... +(h-h)^2 = 400 erhältst du die gleichung für r
ok?
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mhm ja alles klar ok.

Hab's eben mal gemacht und hat geklappt und hab's nun auch verstanden...die Überlegung. Augenzwinkern

Ich hab das nun eben erst nicht verstanden, da ich da verwirrt war von dieser Form der Distanzformel.

Kann man die immer auch so benutzen?

Also vorher bzw. bisher hatte ich bzw. hatten wir die immer nur aus der HNF heraus mit dem 1/n vornedran usw. und das klappt hier dann so aber nicht oder, da wir ja direkt zwei Punkte haben..?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eine gute frage, das ist gefühlssache, glaube ich, aber im allgemeinen wird das wohl nicht gehen, da hast du ja dann 2 parameter r und s, wenn du aber eine beziehung zwischen r und s hast, funktioniert es (gleiche geschwindigkeit, gleiche höhe ....)
skizze und übung
werner

das mit der hnf klappt hier nicht, die gibt ja "nur" den abstand aber nicht die koordinaten, aber wenn ich mich recht erinnere, gibt es hier im board einiges in dieser richtung, wie main die koo. der beiden punkte bei windschiefen geraden bestimmt
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

alles klar ok...dankeschön.

- - -

Ich mache einfach mal hier in meinem Thema weiter, da die nächste Aufgabe sowieso gemischte Teilaufgaben enthält.

Zu den Aufgaben s. Anhang.

Ich habe auch schon angefangen *g*:

Zur Aufgabe a):

- Normalenvektor berechnet

Dann die Normalenform aufgestellt:



Richtig?

Aufgabe b):

Gerade g in Normalenform von E einsetzen:

Die Parameter entfallen und man erhält eine unwahre Aussage und d.h. die Gerade g ist parallel zur Ebene E.

Korrekt so?

Aufgabe c):

So, hier habe ich ein Problem...also das soll ohne jegliche Rechnung gesagt werden, in einem Satz wahrscheinlich und vorher durch Schauen/Überlegung.

Naja, ich habe trotzdem mal die Gerade h in E eingesetzt und erhalte für u=0 und damit einen Schnittpunkt von h und E bei S(1/0/1). Das hieße also, dass sich die Geade h und Ebene E schneiden.
So, nun soll ich das aber ohne Rechnung machen...kann ich da sagen, dass der Richtungsvektor der Gerade h kollinear zu denen der Ebene ist (ist das so? *g*)?


Die nächste Aufgabe habe ich auch schon gemacht und auch eine Frage dazu, aber dazu dann, sobald das geklärt ist...muss nicht vorgerechnet werden der Rest, also zumindest noch nicht (vll. ist's später noch nötig wenn's nicht ganz klappt). Nun aber erstmal bis zur c). *g*


Danke im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

alles bestens, aber die hnf lautet: (3x - 2y + 6z - 9)/7 = 0
mußt du ausmultiplizieren.
zu c) da beide denselben aufpunkt S(1/0/1) haben und das skalarprodukt von (1/1/1) und dem oben berechneten normalenvektor offensichtlicch <> 0 schneiden sich E und g in S (sonst läge g in E)
zu d) sie schneiden sich, denke ich
zu f) kannst du das schreiben, man kann den teil am rand rechts nicht lesen
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

alles klar - in Ordnung.

Wenn man auf "Volle Bildgröße" klickt ist es doch scharf und man kann's lesen oder? Also ich seh's dann ganz deutlich, aber gut:

f) Für welchen Wert des Parameters t in der Gleichung der Geraden g erhält man den Lotfußpunkt F vom Urpsprung auf g?


- - -

Zu der Aufgabe b), die ist ja gar nicht komplett gewesen, hatte ich was vergessen zu was ich noch eine Frage hatte - dem Abstand von g zu E nämlich:

Einmal habe ich direkt den Stützvektor der Gerade g in die Normalenform der Ebene eingesetzt:



Da erhalte ich dann:


So, dann habe ich aber mal meine Parameterform der Ebene die ich ja ursprünglich in der Aufgabe gegeben hatte in die Koordinatenform umgeschrieben. Den Normalenvektor hatte ich ja ausgerechnet..

Das ist dann:

Jetzt aus dieser Koordinatenform der Ebene die HNF:



So, wenn ich hier nun die Gerade g einsetzte in die HNF erhalte ich:



So, das gibt dann aber: (gerundet)


Wieso kommt hier nicht das gleiche raus, wie ohne zuerst die Parameterform zu bilden ?!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

weils PLUS 9 heißt
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wieso heißt's denn plus 9 ? Du hattest auch minus 9 in deiner HNF und man kommt doch auch auf -9.

Den Stützvektor der Ebene mit dem Normalenvektor multipliziert gibt ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »


und ich hab den ganzen krempel mit -1 multipliziert, ABER ALLES!!!
und das gibt dann 3x - 2y + 6z - 9 = 0
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hm...ja ist richtig, muss natürlich plus 9 heißen *grummel*..ok dann passt's auch, dankeschön. Augenzwinkern

Zur Aufgabe d):

Ich habe einfach die Gerade und die Gerade gleichgesetzt.

Habe dann für die Parameter das erhalten: und

Probe mit der dritten Gleichung passt auch.

Dann in eingesetzt und erhalte den Schnittpunkt:

Müsste passen oder?


- - -

Zur Aufgabe e):

Wie berechne ich noch gleich den Schnittwinkel bei zwei Geraden? Also bei zwei Ebenen ist klar, die beiden Normalenvektoren im Skalarprudkt mit cos Gamma zum Beispiel.
Bei Ebene und Gerade ist's auch klar, da nehme ich den Normalenvektor von der Ebene und den den Richtungesvektor der Gerade.

Bei zwei Geraden müsste ich dann ja einfach jeweils die Richtungsvektoren nehmen oder? Also: ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

beides richtig
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

okay, wunderbar.

Der Winkel den ich raushabe beträgt: bzw. dann

Stimmt so? *g*

- - -

Zur Aufgabe f):

Ich brauche den Parameter t der Geraden g für welchen man den Lotfußpunkt F vom Ursprung auf g erhält.

Hm...naja also ich habe ja meine Geradengleichung.
Dann brauche ich einen Punkt, hier wohl den Punkt F und damit stelle ich eine Hilfsebene auf. Dann den Lotfußpunkt F als Schnittpunkt von g und meiner Hilfsebene und bekomme einen Wert für t oder ?

Und wie ist hier nun mein Punkt F? Soll der im Ursprung liegen bei oder im Ursprung der Geraden g, was ja den Aufpunkt als F bedeuten würde ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

der schnittwinkel paßt, alpha = 43,09° (was ist gamma?)

zu f) damit ist gemeint der senkrechte abstand OF mit F auf der geraden

weg 1: ebene durch O senkrecht auf g und schnittpunkt ermitteln durch einsetzen von g in E: 3y + z = 0, gibt t = 0,7
und aus g erhältst du F
weg 2: d(OF) = Min => d^2 = 4^2 + (-3+3t)^2+(2+t)^2 = min,
was auf dasselbe ergebnis führt

werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja öhm...ja eigentlich nur Alpha=43,09°. Augenzwinkern

- - -

Ja, ich würde hier Weg 1 mal bevorzugen.

Mit t-Wert dann in Ebenengleichung einsetzen um F zu erhalten, welcher ja ist, ist klar.

Nur nochmal zurück zur Ebene die durch O geht (Urpsprung), also Aufpunkt sozusagen bei und dann senkrecht auf g stehen muss. Und das erreiche ich einfach mit dem Richtungsvektor von g ? => 3y + z = 0

Und wie würde dazu nun die Parameterform/Normalenform ausschauen? Für die Parameterform benötige ich ja den Aufpunkt (0/0/0) und zwei Richtungsvektoren und davon ist dann eben einer 0 oder wie? *g*
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
@SkYfiGhTeR: kannst du mir die gesamten aufgabenzettel heute noch mal per email schicken?? ich würde die gerne mal nachrechnen!!


danke schön


gruß dennis
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

öhm...welche bzw. welchen "gesamten" Aufgabenzettel meinst du denn? *g*

Die beiden Aufgaben mit dem Lifter und jetzt diese Gemischte Aufgabe sind ja hier. Die hatte ich einzeln eingescannt...und das dauerte schon (Scanner ist...naja, nicht der Schnellste bzw. auf aktuellem Stand *lol*).
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
ich meine alles so komplett. sowohl die aufgabe mit dem lifter als auch die anderen, die du hier drin hast. würde mich freuen,w enn du das bis mitt nächster woche hinbekommen würdest. ich schau mir die aufgaben mit lösungen hier uach gar nicht an, da ich das selbst nachrechnen möchte und wenn ich mir nun die aufgaben einzelnd rauspicken würde, müsste ich mir dann auch zwangsweise das alles durchlesen.


daher wäre es nett, wenn du dir die mühe noch einmal machen könntest und ir dann zu mailen würdest.

Meine Email steht in meinem PRofil. ich schick dir auch noch mal nächste woche ne message übers board, so zur ernnerung : "ach da war ja noch wassmile "


ich bin dir jetzt schon überaus dankbar.


edit: die aufgabe mit dem lifer war nur in a un b unterteilt??, wenn ja die habe ich mir ja schon kopiert, aber den rest bräuchte ich noch!!
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...also so mit Bildern ist's dann nur noch die andere Aufgabe hier aus dem Thema und noch eine mit 'nem Haus (Schnittwinkel Gerade/Ebene). Die habe ich noch auf Seite 4 oder 5 hier im Geometrie-Forum gefunden. Ansonsten war's glaub nichts mehr, als zumindest nichts mehr was ich eingescannt hatte. E-Mail mit denen beiden ist raus..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SkYfiGhTeR
Hi,

Nur nochmal zurück zur Ebene die durch O geht (Urpsprung), also Aufpunkt sozusagen bei und dann senkrecht auf g stehen muss. Und das erreiche ich einfach mit dem Richtungsvektor von g ? => 3y + z = 0

Und wie würde dazu nun die Parameterform/Normalenform ausschauen? Für die Parameterform benötige ich ja den Aufpunkt (0/0/0) und zwei Richtungsvektoren und davon ist dann eben einer 0 oder wie? *g*


formal macht man das wie immer:
normalvektorform mit punkt und normalenvektor
, womit auch deine frage nach der normalvektorform beantwortet ist.
und eine parameterform kriegst wie gehabt
a) x = s(notwendig, soweit ich mich entsinne, da x nicht vorkommt), y = t => z = -3t

b) du bestimmst 3 punkte, die die ebenengl. erfüllen, und baust daraus die parameterform
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mhm gut alles klar. Vielen Dank! Augenzwinkern
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
danke sehr
@SkYfiGhTeR: vielen dank, hab sie bekommen. dann werd ich mich mal ans lösen machen.

leg mir extra mal nen ordner an für dinge, die hier im forum gepostet werden und zu deren lösung ich beitragen kann. dann hat man immer etwas zum nachschlagen und so etc...


Vielen dank nochmal


gruß dennis
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: danke sehr
hi, wie kommt die Höhe für den Fehrnsehturm zu stande? Der Richtungsvektor der Geraden des Fernsehturms hat die Höhe 350 m, wie kommst du auf diese Angabe?

MfG

Dennis
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: danke sehr
das ist doch ganz wurscht, hauptsache er steht SENKRECHT!

werner
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: danke sehr
danke werner. war mir da nicht mehr ganz sicher. Augenzwinkern
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
@werner: ich hab noch mal zu der Aufgabe mit dem Cargo lifter eine Frage:

der abstand zwischen der geraden g und der geraden h beträgt , die Dicke des Turmes hängt von seiner Höhe nach der Formel:

da ja die Höhe in dieser Formel schon angegebeben ist, frag ich mcih, weshalb man die Höhe nicht wie folgt bestimmt:

und davon dann noch 12 subtrahiert,damit man auch die 12m von der geraden des Cargolifters noch mit ins spiel bringt und das anschließend gleich 0 setzt:





und das jetzt in die BEdingung eingesetzt, dann erhält man .

Hätte man hier nicht auch bewiesen, dass der Cargolifter bei einer höhe 196m den Turm noch knapp passieren könnte?

denn da ist, müsste der cargolifter gerade noch durch kommen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
@hallo brunsi,
ist schon eine weile her
aber ich habe seinerzeit als höhe h = 144 m herausbekommen, in der der cargo den turm "passiert". wie kommst du auf 196?

20 >= 20 - x gilt wohl für alle x > 0, das kann es nicht sein, denke ich.

ich vermute, du vermischt da die dicke des turmes d(h), den durchmesser des cargo d = 12 und den abstand der beiden geraden D.
nebenbei h = 16^2 => h = 256 und h = 196?
da mußt du mir auf die sprünge helfen
werner
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
naja, wir wissen ja, dass die dicke des turmes von der höhe abhängt, also die formel
und wir kennen den durchmesser des lifters voraus folgt, dass der lifter ist, da er ja nur mit einer seite am turm anecken kann.

den abstand der Geraden zum Turm hatten wir ja in der aufgabe a) schon .

da jetzt aber die dicke des tumrs von von obiger Formel abhängt und man bereits weißt, dass ein restabstand zwischen gerade Cargolifter und Gerade Turm von übrig bleiben muss, soll gelten:



dann müsste man doch nach dieser Formel die Höhe berechnen können, in der der abstand zur geraden nur noch 8 m betrifft. das wäre dann in 576 m



P.S.: der RESTABSTAND ergibt sich, wenn man vom Abstand aus aufgabe a)20LE 12 subtrahiert, da man den abstand von der gerade des Cargolifters gemessen hat auf der der mIttelpunkt M liegt und sich daher von dieser Geraden noch ein abstand von jeweils 12 auf beiden seiten ergibt (aufgrund des Durchmessers des Lifters!!)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
@hallo brunsi,
aber der turm ist nur 350 m hoch oder so!
nein im ernst, das ist schon eine gute idee von dir! Freude
nur mußt du das gerinfügig korrigieren:

und mit delta = 1 ergibt sich wie "umgekehrt" berechnet:

werner
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
@danke werner, das war ja auch noch mein problem, das der turm eigentlich nur ca. 365m hoch ist, auch nach dem Umbau im Jahre 1997 oder 1999.

wie kommst du denn auf das "delta"=1?? verwirrt verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
bei meiner rechnung erhielt ich - s. seite 1 - dass der cargo in 144m höhe vorbeifliegt, und bei variante 2 mit variabler breite des turmes genau 1m abstand zwischen cargo und turm verbleibt, daher delta = 1, und siehe da, dieser wert ergibt sich nun umgekehrt bei h = 144, hurra!
werner
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »