Grenzwert/Limes berechnen.

18.05.2005, 09:00

ndee

Grenzwert/Limes berechnen.

Hallo zusammen,
ich habe grundsätzlich ein Problem mit dem Limes oder Grenzwert berechnen. Momentan arbeiten wir gerade am Integral rechnen. Beim Differenzieren hatte ich zum Teil Probleme sobald der Limes ins Spiel kommt. Meine simple Frage: Wie rechnet man einen Limes aus?

Folgendes Problem:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{2+x} \end{eqnarray*}$

Danach steht: Bestimmen Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}(\frac{f(x) - f(0)}{x}) \end{eqnarray*}$

Muss man dort nun irgendwie das x rauskürzen, so dass der Teil der nach dem Limes kommt "x"-frei ist? Oder wie muss man hier genau vorgehen?

Vielen Dank schon im voraus smile

18.05.2005, 09:05

klarsoweit

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RE: Grenzwert/Limes berechnen.
Offensichtlich ist wohl $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2+x} \end{eqnarray*}$
Jetzt mußt du in dem "Grenzwertterm" erstmal f(x) und f(0) einsetzen.

PS: Das ist keine höhere Mathematik, auch wenn es einem so vorkommt. Augenzwinkern

Gehört in die Analysis.

18.05.2005, 09:18

ndee

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RE: Grenzwert/Limes berechnen.

Zitat:

Original von klarsoweit
Offensichtlich ist wohl $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2+x} \end{eqnarray*}$
Jetzt mußt du in dem "Grenzwertterm" erstmal f(x) und f(0) einsetzen.

PS: Das ist keine höhere Mathematik, auch wenn es einem so vorkommt. Augenzwinkern

Gehört in die Analysis.

Aha, tut mir leid, vielleicht kanns ja ein Moderator moven. Ich habe nur GANZ kurz die Titel der Foren überflogen und hab dabei nur "Universität" gelesen und darum hier geposted smile

Aber eben, hier hab ich schon ein Problem: 0 darf ich ja nicht nehmen, kann ich dann einfach 0.000000001 nehmen?

Ich muss vielleicht noch erwähnen dass ich mit Mathe meine gewissen Probleme habe und wirklich SEHR schlecht bin, deswegen auch diese "komischen" Fragen smile

PS: Login funktioniert mit Firefox irgendwie nicht, man bleibt nicht eingeloggt.

18.05.2005, 09:28

klarsoweit

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RE: Grenzwert/Limes berechnen.

Zitat:

Original von ndee
Aber eben, hier hab ich schon ein Problem: 0 darf ich ja nicht nehmen, kann ich dann einfach 0.000000001 nehmen?

Du sollst ja auch nicht für x Null einsetzen. Du sollst den Grenzwert bilden, wenn x beliebig nahe an Null "rangeht". Da hilft auch nicht "einfach 0.000000001" einzusetzen.

Also nochmal meine Frage. Welchen Wert hat f(0)? Setze dies und die Funktionsgleichung von f(x) in $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(0)}{x} \end{eqnarray*}$ ein.

18.05.2005, 09:37

ndee

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RE: Grenzwert/Limes berechnen.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von ndee
Aber eben, hier hab ich schon ein Problem: 0 darf ich ja nicht nehmen, kann ich dann einfach 0.000000001 nehmen?

Also, f(0) hat den Wert $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

also, bei x=2 gibt das folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{2+\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 09:46

klarsoweit

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RE: Grenzwert/Limes berechnen.
So weit, so gut. Du solltest aber nur f(0) = Wurzel(2) einsetzen. Das x im Nenner bleibt erstmal stehen und für das f(x) im Zähler kannst du Wurzel(2+x) schreiben.

PS: Bitte nicht immer komplette Beiträge zitieren. Das müllt nur den Thread voll. Augenzwinkern

18.05.2005, 09:57

ndee

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hüh? Also, f(0) ist ja Wurzel(2), das gibt dann:

(Wurzel(2+x) + Wurzel(2)) / x

eben wie gesagt, ich bin Mathe-debil Augenzwinkern

PS: werd ich von nun an nicht mehr machen Augenzwinkern

18.05.2005, 10:06

klarsoweit

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Das ganze mit Latex:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{x} \end{eqnarray*}$
Jetzt muß man die blöden Wurzeln loswerden. Dazu nimmt man einen kleinen Trick. Man erweitert den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+x} + \sqrt{2}{x} \end{eqnarray*}$ und erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{2+x} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2+x} + \sqrt{2})}{x \cdot (\sqrt{2+x} + \sqrt{2})} \end{eqnarray*}$
Den Zähler kannst du mit der 3. binomischen Formel ausmultiplizieren.

18.05.2005, 10:22

ndee

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Das gibt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\sqrt{2+x} + \sqrt{2})} \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 10:25

klarsoweit

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richtig!

Jetzt das x rauskürzen und sich daran erinnern, daß man eigentlich den Grenzwert für x -->0 berechnen wollte.

18.05.2005, 10:25

ndee

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ok, sorry wegen dem Post oben, hats ein bisschen verhauen, ich hatte dort oben ein x und unten noch ein * x. OK, das hab ich gekürzt, und dann ist also der erhaltene Term der Grenzwert? Big Laugh

Wenn das so ist, vielen Dank, hat mir sehr geholfen! Ich dachte immer mit "lim(n->0) TERM" das Limes irgendeine Funktion von TERM ist smile

Thanks!

18.05.2005, 10:35

klarsoweit

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Halt!! So schnell geht es nicht!
Also es war also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{(\sqrt{2+x} + \sqrt{2})} \end{eqnarray*}$
Jetzt darf man bei der Grenzwertbildung für das x die Null einsetzen. Aber nur, weil die Wurzelfunktion stetig ist.

18.05.2005, 10:41

ndee

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OK, muss man demnach schauen dass man für "x" eigentlich alles einsetzen kann? Oder allgemein gesagt, dass man für den "Grenzwert" auch wirklich den Wert einsetzen kann?

18.05.2005, 10:49

klarsoweit

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Das allein reicht nicht. Man muß wirklich schauen, ob die Funktion an der Stelle, wo man den Grenzwert bilden will nicht nur definiert ist, sondern auch stetig ist. Dann kann man den entsprechenden Wert für x einsetzen. Ist die Funktion nicht stetig, muß man andere Methoden anwenden. Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 12:27

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo ndee!
Ich würde dir allgemein folgendes sagen:
Bei solchen Grenzwerten, wo man die Ableitung berechnen will, da würde man ja immer $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ rausbekommen, wenn man für x gleich das einsetzt, wogegen x geht. Deshalb macht man es im Allgemeinen so, dass man den Term möglichst geschickt umformt, bis man eine andere Darstellung des Terms hat, bei der man dann den Limes bilden kann. "Den Limes bilden können" heißt, dass man dann mglw. den Grenzwert von x einsetzen kann und es kommt nicht mehr so ein undefinierter Term wie $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ raus, sondern ein definierter. Dann ist man fertig. Bei anderen Grenzwerten kann es aber auch sein, dass man die so umformt, dass man dann bekannte Grenzwerte ausnutzt und dann "den Limes bilden kann".
Ich kann dir sagen, dass man etwas Erfahrung und einen guten Blick braucht, um solche Umformungen zu 'erkennen'.

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