Intergration Logarithmus

18.05.2005, 11:31

Josy

Intergration Logarithmus

Wie Integriere ich:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_2^x\frac{1}{log\ u}du \end{eqnarray*}$ ?
Ich wollte substituieren: $\begin{eqnarray*} log\ u=t \Rightarrow t'=\frac{1}{u}=\frac{dt}{du} \end{eqnarray*}$
Dann hab ich:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{log\ 2}^{log\ x}e^{t}\cdot t^{-1}dt \end{eqnarray*}$ , da ich ersetzt habe: $\begin{eqnarray*} u=e^{t} \end{eqnarray*}$
Wie löse ich aber das nu? unglücklich

18.05.2005, 12:16

gargyl

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Wenn du nicht weiter kommst dann ersetze doch mal $\begin{eqnarray*} e^{t} \end{eqnarray*}$ , durch die Reihenendwicklung.

18.05.2005, 12:29

brunsi

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RE: Intergration Logarithmus
die ableitung deiner substitution ist ja auch falsch!!

ln(x) ist abgeleitet 1/x

log[a](u) ist abgeleitet 1/(u*ln (a) )

18.05.2005, 12:45

yeti777

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RE: Intergration Logarithmus
Hallo Josy,

wenn ich mich recht erinnere, kann dein Integral nur durch Reihenententwicklung gelöst werden, wie es gargyl bereits erwähnt hat.

Gruss yeti

18.05.2005, 13:29

brunsi

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RE: Intergration Logarithmus
@yeti, da wäre ich mir noch nicht ganz so sicher. es gibt womöglich noch irgend nen trick, den man da anwenden kann. ich versuch da mal was draus zu basteln. versuche das bis heute abend mal hinzubekommen. aber keine garantie dafür!!

ich hatte bis jetzt zwar schon fast alle integralmöglichkeiten, aber log und trigonometrische Funktionen nicht so richtig!!

18.05.2005, 13:36

Mathespezialschüler

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@brunsi
Mach dir bitte keine Mühe!!! Das Ding kannste nämlich wirklich nich unbestimmt integrieren. Soll heißen:
Du findest dazu keine Stammfunktion, die du mit den elementaren Funktionen angeben kannst!

Gruß MSS

18.05.2005, 13:48

Leopold

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Und hier ein Bildchen von

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \int_2^x~\frac{1}{\ln{t}}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 14:49

Josy

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Ja, ich weiß nicht, ob das mich beruhigen oder beunruhigen soll. wie es aussieht weiß ich ja... Das heißt auch der Integrallogarithmus vom Gauss.
Als Ergebnis hab ich
$\begin{eqnarray*} Li(x):=\int_2^x\frac{1}{log\ u}du=\frac{x}{log\ x}+O\left(\frac{x}{(log\ x)^{2}}\right) \end{eqnarray*}$
gelesen.
Wie kommt ich nun darauf?

18.05.2005, 17:11

Josy

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@brunsi: Mit $\begin{eqnarray*} log \end{eqnarray*}$ meine ich den natürlichen Logarithmus, den du mit $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ bezeichnet haben möchtest. Ich glaube also, dass die Substitution doch stimmt...

Reihenetwicklung sieht so aus, wenn ich mich nicht irre:
$\begin{eqnarray*} e^{t}=1+\frac{t}{1}+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+... \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich habe:
$\begin{eqnarray*} f(t)=\int_{log\ 2}^{log\ x}e^{t}\cdot t^{-1}dt=\int_{log\ 2}^{log\ x}\left(\frac{1}{t}+1+\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{3!}+...\right)dt \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F(t)=\left[log\ t+t+\frac{t^{2}}{2\cdot 2!}+\frac{t^{3}}{3\cdot 3!}+...\right]_{log\ 2}^{log\ x} \end{eqnarray*}$

macht das Sinn? unglücklich

edit: Doppelpost zusammengefügt, unterlasse solche Pushposts! (MSS)

19.05.2005, 12:41

Mathespezialschüler

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Bis jetzt ist alles richtig. Was willst du denn damit anfangen?

Gruß MSS

19.05.2005, 13:42

Josy

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ich würde gern auf das Ergebnis kommen, welches ich gelesen habe, also:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{log\ x}+O\left(\frac{x}{(log\ x)^{2}}\right) \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 18:07

etzwane

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Zitat:

Original von Josy
$\begin{eqnarray*} Li(x):=\int_2^x\frac{1}{log\ u}du=\frac{x}{log\ x}+O\left(\frac{x}{(log\ x)^{2}}\right) \end{eqnarray*}$

Es sei für das unbestimmte Integral
$\begin{eqnarray*} J=\int \frac{1}{\ln\ z} dz \end{eqnarray*}$ , dann erhält man mit partieller Integration
$\begin{eqnarray*} J=\int u'v~dz= uv - \int uv'~dz \end{eqnarray*}$ , und mit u'=1, u=z, v'=-1/(z*(ln z)², also
$\begin{eqnarray*} J=\frac{z}{\ln\ z} + \int \frac{1}{(\ln\ z)^2}dz \end{eqnarray*}$

was deinem Ergebnis schon etwas nahe kommt.
Jetzt muss nur noch jemand das Integral auf der rechten Seite (mathematisch einwandfrei) abschätzen ...

20.05.2005, 11:23

Josy

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Danke, das sieht schon mal wesentlich besser aus!

Wenn ich nun das bestimmte Integral löse, erhalte ich doch:
$\begin{eqnarray*} J(x)=\frac{x}{log\ x}-\frac{2}{log\ 2}+\int_2^{x}\frac{1}{(log\ z)^{2}}dz \end{eqnarray*}$

So sieht das aus

Wie kann man das Abschätzen?

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