Metrischer Raum

06.01.2008, 13:43

hundert

Metrischer Raum

1. Sei $\begin{eqnarray*} (M,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum und sei $\begin{eqnarray*} J=\{U \subset M \mid \forall x \in U \exists \varepsilon > 0: B_{(\varepsilon)} (x) \subset U \} \subset P(M) \end{eqnarray*}$ die Menge der offenen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie

(a) leere Menge und $\begin{eqnarray*} M \epsilon J \end{eqnarray*}$

(b) Für $\begin{eqnarray*} U_1 ,...,U_k \in J \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} U_1 \cap ... \cap U_k \in J \end{eqnarray*}$

(c) Sei $\begin{eqnarray*} K \subset J \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup K \in J \end{eqnarray*}$

Edit VR: Latex-Klammern bitte nur um die mathematischen Befehle setzen.

Ferner ist auch eine Frage zu formulieren, die Aufgabe wird nicht von uns gelöst unglücklich

Übrigens: Element von mit

code:
1:	\in

06.01.2008, 13:57

system-agent

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und wo hängts nun?

06.01.2008, 14:40

therisen

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RE: Metrischer Raum

Zitat:

Original von hundert
(c) Sei $\begin{eqnarray*} K \subset J \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup K \in J \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl

"Sei $\begin{eqnarray*} K \subset J \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup_{M\in K} M \in J \end{eqnarray*}$ ."

Die Aufgaben sind leicht zu lösen. Arbeite mit der Definition von Offenheit.

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