stammfuntion zur mantelfläche von rotationskörpern - Seite 2

19.05.2005, 17:06

Mathespezialschüler

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Ok, wenn du so genau fragst ...
Es gilt, wie gesagt, die Formel $\begin{eqnarray*} \cosh^2{t} - \sinh^2{t} = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \cosh t=\sqrt{1+\sinh^2 t} \end{eqnarray*}$ , weil stets $\begin{eqnarray*} \cosh t>0 \end{eqnarray*}$ gilt!
Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$ an.

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2+b^2 x^2}~\mathrm{d}x=\int~\sqrt{a^2\left(1+\left(\frac{b}{a}x\right)^2\right)}~\mathrm{d}x=a\int~\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}x\right)^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b}\sinh t\ \Leftrightarrow\ \sinh t=\frac{b}{a}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x=\frac{a}{b}\cosh t~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\int~\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}x\right)^2}~\mathrm{d}x=a\int~\sqrt{1+\sinh^2 t}\cdot \frac{a}{b}\cosh t~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a\int~\cosh t\cdot \frac{a}{b}\cosh t~\mathrm{d}t=\frac{a^2}{b}\int~\cosh^2 t~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

19.05.2005, 18:41

iammrvip

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oder (obwohl MSS' Variante zum Anfang vielleicht besser ist, weiß nicht verwirrt

verwirrt

)

$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{a^2 + b^2x^2}\mathrm dx \end{eqnarray*}$

mit der Substitution:

$\begin{eqnarray*} x &= \frac{a}{b}\sinh u \\ \mathrm dx &= \frac{a}{b}\cosh u \mathrm du \end{eqnarray*}$

einsetzen:

$\begin{eqnarray*} &\int\sqrt{a^2 + b^2x^2}\mathrm dx \\ &= \int\sqrt{a^2 + b^2\frac{a^2}{b^2}\sinh^2u}\frac{a}{b}\cosh u\mathrm du \\ &= \int\frac{a}{b}\sqrt{a^2 + a^2\sinh^2u}\cosh u\mathrm du \\ &= \int\frac{a}{b}\cdot a\sqrt{1 + \sinh^2u}\cosh u\mathrm du \\ &= \frac{a^2}{b}\int\cosh u ~ \cosh u\mathrm du \\ &= \frac{a^2}{b}\int\cosh^2u\mathrm du \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 18:51

Mathespezialschüler

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@iammrvip
häää? verwirrt

verwirrt

Das ist doch genau das gleiche in grün! Buschmann

Buschmann

Gruß Max

19.05.2005, 18:52

iammrvip

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Naja nicht so ein umständliches geklammere, das meinte ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.05.2005, 18:57

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@iammrvip
häää? verwirrt

verwirrt

Das ist doch genau das gleiche in grün! Buschmann

Buschmann

Gruß Max

Aber grün ist schöner als dunkelgrau!

19.05.2005, 19:50

brunsi

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antwort
ok, versuche das morgen mal selbstständlig und wenn es nicht klappt, so hab ich ja eure beiden lösungen hier um nachzuschauen.

vielen danke euch beiden

gruß brunsi

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21.05.2005, 12:35

brunsi

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RE: antwort
ich hab da noch mal eine Frage zum Verständnis folgender Funktion:

ihr sagtes ja,dass $\begin{eqnarray*} a,b >0 \end{eqnarray*}$ sind. und ja $\begin{eqnarray*} cosh t >0 \end{eqnarray*}$ .

Der $\begin{eqnarray*} cosh t \end{eqnarray*}$ ist ja eine nach oben geöffnete Parabel, wenn ich jetzt aber noch den Faktor $\begin{eqnarray*} (a/b) \end{eqnarray*}$ habe, was passiert dann mit dem cosh t?

Da gibt es dann ja zwei möglichkeiten:

1. $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a,b<o \end{eqnarray*}$

im 1.Fall würde dann doch der Graph der Funktion gestreckt werden
und im 2.Fall gestaucht oder???

oder verscheibt sich das ganze im 2.Fall in richtung der y-Achse???

21.05.2005, 13:31

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von brunsi
Der $\begin{eqnarray*} cosh t \end{eqnarray*}$ ist ja eine nach oben geöffnete Parabel,

Das ist nicht richtig!! Es ist zwar $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to -\infty}\cosh t=\lim_{t\to +\infty}\cosh t=+\infty \end{eqnarray*}$ und dazwischen liegt nur ein Scheitelpunkt, aber eine Parabel ist es sicher nicht!

Zitat:

Original von brunsi
wenn ich jetzt aber noch den Faktor $\begin{eqnarray*} (a/b) \end{eqnarray*}$ habe, was passiert dann mit dem cosh t?

Da gibt es dann ja zwei möglichkeiten:

1. $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a,b<o \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen ist $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}>0 \end{eqnarray*}$ , die Funktion wird einfach mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ nach oben gestreckt. In den Fällen $\begin{eqnarray*} a>0,b<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a<0, b>0 \end{eqnarray*}$ wird sie auch mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a}{b}\right| \end{eqnarray*}$ gestreckt und dann an der x-Achse gespiegelt.
Eine "echte" Streckung liegt vor für $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a}{b}\right|>1 \end{eqnarray*}$ , eine Stauchung für $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a}{b}\right|<1 \end{eqnarray*}$ .
Es ist das Verhältnis von a zu b, was den Ausschlag gibt für "stauchen" oder "strecken", nicht die Vorzeichen!

Gruß MSS

21.05.2005, 15:48

brunsi

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antwort
ok, danke schön, wusste nicht mehr wie das genau war.

22.05.2005, 09:13

Frooke

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Dass es keine Parabel ist, siehst Du am besten durch die Definition des cosh...
$\begin{eqnarray*} \cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+\frac{1}{e^x}\right) \end{eqnarray*}$

22.05.2005, 09:21

brunsi

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antwort
danke schön.

22.05.2005, 11:39

iammrvip

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oder wie man eigentlich immer schreibt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \cosh x := \frac{1}{2}\left(\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

22.05.2005, 11:48

Frooke

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Yeah! Und das Doppelpünktchen vor dem = hab ich auch vergessen Hammer

Hammer

... Sollte auch bei mir heissen:
cosh(x):=...

Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2005, 07:02

brunsi

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frage
tut mir leid, dass ich es nochmal aus der versenkung hier holen muss, aber ich hab bei der ausführung zur bildung einer stammfunktion noch so ein problem.

@ Allle die sich damit auskennen: schaut bitte mal auf MSS-Post vom 18.05.2005 20:53 (zu finden auf Seite 2). Dort hat er ja die Stammfunktion eingegeben.

Bis auf den 2.Summanden in der Klammer hab ichs auch raus. doch wie komme ich da nun auf den ln-Term im 2.Summanden in der Klammer???

kann mir da jemand weiter helfen??? ganz drinegnd, damit ich das thema endlich ad acta legen kann.

28.05.2005, 09:09

etzwane

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Was hast du denn anstelle des ln-Terms da stehen, etwas mit arsinh ?

28.05.2005, 11:34

brunsi

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nee einfach nur nen $\begin{eqnarray*} +t \end{eqnarray*}$

und ich weiß einfach nciht, wie ich drauf kommen soll. das ln muss ja irgendwie durch resubstitution zu satnde kommen oder??

28.05.2005, 11:49

Mathespezialschüler

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Das ist also doch was mit arsinh Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b}\sinh t\ \Leftrightarrow\ t=\mathrm{arsinh} \left(\frac{b}{a}x\right) \end{eqnarray*}$

Und der Grund, dass da der arsinh kommt, ist die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mathrm{arsinh}{(x)}=\ln (x+\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray*}$

smile

smile

Gruß MSS

28.05.2005, 11:54

brunsi

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genau, das muss es sein, wusste irgendwie nicht mehr wie ich deine gleichung weiter umforme konnte. aber ich versuchs noch mal und wenns heute nichst wird, dann schreib ich morgen ncooh mal rein, wo es bei mir an Wissen mangelt *gg*

danke erst einmal soweit.

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