Differentialrechnung ohne h-Formel

18.05.2005, 17:49

blondi

Differentialrechnung ohne h-Formel

Hallo!

Es gibt ja diese h-Formel um die Steigung zu berechnen
f(x+h) - f(x) / h

Wie geht das mit dem Ablesen ohne diese Formel? verwirrt

danke
blondi

18.05.2005, 18:01

brunsi

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RE: Differentialrechnung ohne h-Formel
du meinst also ne ganz normale ableitung?

ich mach da mal eben ein beispiel und du versuchst es nachzuvollziehen und erklärst es mir dann noch mal:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2+x^3-2x \end{eqnarray*}$

die ableitung davon ist nun:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4*2x^{2-1}+3x^{3-1}-2x^{1-1} \end{eqnarray*}$

hoffe du meintest es jetzt so wie ichs mir gedacht habe: die 1.Ableitung einer Funktion gibt allgemein die Steigung wieder. Suchst du die steigung in einem bestimmten Punkt, so musst du einfach nur die x_Koordinate des Punktes für x in f'(x) einsetzen und schon haste die Steigung.

18.05.2005, 18:04

blondi

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der exponent immer minus 1. und wenn kein exponent da is und da z.b. nur +4 steht? dann 4^-1 ? verwirrt

18.05.2005, 18:04

JochenX

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Zitat:

Wie geht das mit dem Ablesen ohne diese Formel?

um was geht es dir denn genau?
um das ablesen aus dem schaubild? oder um das berechnen der ableitung ohne h-formel?

18.05.2005, 18:05

Gast1234

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oder etwas allegemeiner:
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= x^{n}<br /> <br /> f`(x)= n*x^{n-1} <br /> \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 18:06

blondi

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Wie geht das mit dem Ablesen ohne diese Formel?

um was geht es dir denn genau?
um das ablesen aus dem schaubild? oder um das berechnen der ableitung ohne h-formel?

berechnen der abletung ohne h-formel

18.05.2005, 18:10

brunsi

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antwort

Zitat:

der exponent immer minus 1.

genau das ist schon mal richtig.

so wenn die form jetzt z.B. so lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4*2x^{2-1}+3x^{3-1}-2 \end{eqnarray*}$

was passiert dann mit dem hinteren summanden, der "-2"???

da passiert dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4*2x^{2-1-1}+3*2x^{3-1-1} \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 18:13

blondi

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hö? wieso tut man die 2 jetzt mal die 3x^3 und alles nochmal minus 1?

danke @Gast

18.05.2005, 18:17

JochenX

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okay, also das ableiten hängt natürlich sehr vom funktionstypen ab.

allgemein gilt aber und das solltest du wissen:

Summen: $\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)+v(x) => f'(x)=u'(x)+v'(x) \end{eqnarray*}$ einzeln ableiten
Produkt mit Skalar: $\begin{eqnarray*} f(x)=a*g(x) => f'(x)=a*g'(x) \end{eqnarray*}$ skalare einfach mitnehmen

das ist mal ein anfang.

für Potenzfunktionen gilt nun: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n => f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$
daraus folgt spezialfall: $\begin{eqnarray*} f(x)=c=c*x^0 => f'(x)=0*...=0 \end{eqnarray*}$ konstante funktionen haben ableitung 0.

mit diesen 3 regeln solltest du sämtliche polynomfunktionen ableiten können.
andere funktionen (sinusfunktion, e-funktion benehmen sich völlig anders und brauchen extraerkenntnisse, aber das kommt später)

mfg jochen

18.05.2005, 18:17

Gast1234

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Beispiel ( ohne h-Methode)

f(x) = 3x² - 4x + 4

> $\begin{eqnarray*} \frac{3x² - 4x - 3xo² + 4xo}{x - xo} \end{eqnarray*}$

> Polynomdivision ...
Ergebnis: 3x + 3xo - 4

> $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to xo} (3x + 3xo - 4) = 6xo - 4 \end{eqnarray*}$

> Also: f'(x) = 6x - 4

18.05.2005, 18:18

brunsi

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antwort
ich bin von der funktion ausgegangen, die ich ne zeile drüber angeführt habe. dann habe ich nichts weiter getan, als vom exponenten noch einen weitern abgezogen.

mal ein beispiel:

leite nach x ab:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2*2x^{2-1}=4x \end{eqnarray*}$

so eine weiter übung, die du jetzt lösen sollst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^3 \end{eqnarray*}$

leite das mal eben ab!!

18.05.2005, 18:20

JochenX

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Zitat:

Original von Gast1234 (firefoxtauglich gemacht)
oder etwas allegemeiner:
$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{n} \\ \\ f'(x)= n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

halo gast, bitte den normalen ' [über der #] verwenden, sonst sehen wir firefoxuser den tex nicht richtig!
und \\ macht zeilenumsprung

18.05.2005, 18:25

blondi

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@LOED:
was is u, v und g? verwirrt

@Gast:
das versteh ich nich

@brunsi
3*3x^3-1 ?

18.05.2005, 18:28

JochenX

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Zitat:

was is u, v und g?

das sind andere funktionen

BSP: f(x)=5x³=5*g(x) mit g(x)=x³
g(x) kannst du ableiten, denn du hast die formel zur ableitung von potenzfunktionen

g'=3x²

dann gilt f(x)=5*g(x), also f'(x)=5*g'(x)=5*3x²=15x²

18.05.2005, 18:29

Frooke

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
ich bin von der funktion ausgegangen, die ich ne zeile drüber angeführt habe. dann habe ich nichts weiter getan, als vom exponenten noch einen weitern abgezogen.

mal ein beispiel:

leite nach x ab:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2*2x^{2-1}=4x \end{eqnarray*}$

so eine weiter übung, die du jetzt lösen sollst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^3 \end{eqnarray*}$

leite das mal eben ab!!

Du müsstest schon schreiben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\cdot2x^{2-1}=4x \end{eqnarray*}$

Und die allgemeine Regel (für Potenzfunktionen) wurde ja eben von Gast gepostet...

@blondi: Ich weiss nicht, wie weit ihr da seid, aber müsst ihr schon Funktionen im Stil von
$\begin{eqnarray*} g(x)=\left(x^2+2\right)^2 \end{eqnarray*}$
ableiten können? Denn da gibt's noch eine andere Methode als ausmultiplizieren und einzeln die Summanden ableiten...

Denn bei
$\begin{eqnarray*} h(x)=\left(x^2+2\right)^{27} \end{eqnarray*}$
wäre es schon unangenehmer...

Liebe Grüße nach Bottrop (stimmt's diesmal Augenzwinkern

)

18.05.2005, 18:29

brunsi

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antwort
richtig, die kandidatin bekommt eine 1+ !!

so und nun ein weiteres beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*2x^{2-1} \end{eqnarray*}$

die +2 fällt hier weg, weil keine variable mehr dort steht.

eigentlich würde da stehen: $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^0 \end{eqnarray*}$ und da

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^0=1 \end{eqnarray*}$ laut bedingung fällt die variable weg und damit kannst du auch diesen summanden nciht weiter ableiten.

ein beispiel zum selber lösen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(1/2)x^1 \end{eqnarray*}$

was muss dann für die 1.Ableitung da stehen??

18.05.2005, 18:36

blondi

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ja der ort stimmt geschockt

naja wir hatten das noch nich, nur so normale sachen mit h-formel

@brunsi:
(1/2)x^1-1 = (1/2)*1 = (1/2), und das fällt wegen wegen keiner variablen? verwirrt

@LOED
kommt das bei den buchstaben auf die aufgabe an oder sind die festgelegt mit u, g, c...?

18.05.2005, 18:41

JochenX

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ein paar dinge blondi:
die namen, u,g,v... sind natürlich von mir frei gewählt
ob deine funktion f(x) oder q(x) heißt ändert natürlich nix daran, wie du sie ableitest!

f'=1/2 ist richtig bei brunsis letzter funktion, aber das f'= darfst du nicht vergessen!
denn deine ableitung ist wieder eine funktion!

Zitat:

Summen: $\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)+v(x) => f'(x)=u'(x)+v'(x) \end{eqnarray*}$ einzeln ableiten
Produkt mit Skalar: $\begin{eqnarray*} f(x)=a*g(x) => f'(x)=a*g'(x) \end{eqnarray*}$ skalare einfach mitnehmen

das ist übrigens wichtig, unbedingt nachvollziehen!

Zitat:

für Potenzfunktionen gilt nun: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n => f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

und das merken!

und dir dann bewusst werden, dass du damit alle polynomfunktionen ableiten kannst.

die haben doch gerade die form $\begin{eqnarray*} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1*x+a_0 \end{eqnarray*}$

KLAR MACHEN!

18.05.2005, 18:45

Frooke

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@blondi: Auf Buchstaben kommts grundsätzlich nicht an:
Die Quadratfunktion kann ich schreiben als
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a)=a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\aleph)=\aleph^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f( \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} )= \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

(Das letzte Beispiel is vielleicht ned soo toll...)
Diese Formel benutzt Du, wenn Du ein Produkt von Funktionen hast, die Du nicht zusammennehmen kannst:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\underbrace{x^2}_{u(x)}\underbrace{\sin x}_{v(x)} \end{eqnarray*}$
Dann ist
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \end{eqnarray*}$

EDIT: @LOED: Da war meine Wenigkeit zu langsam... Gott

18.05.2005, 18:46

brunsi

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antwort

Zitat:

@brunsi:

Zitat:

(1/2)x^1-1 = (1/2)*1 = (1/2), und das fällt wegen wegen keiner variablen?

das fällt erst bei der 2.Ableitung dann weg. bei der 1.Ableitung steht dann

f'(x)= (1/2)

so und bei der 2.Ableitung würde dann stehen:

f''(x)=0

so jetzt mal eine aufgabe, die alles bisher von mir an beispielen gezeigte kombiniert:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 4x^1-12x^4+(1/2)x^1 \end{eqnarray*}$

so und davon würde ich jetzt gerne mal wissen, wie deine 1.Ableitung dazu aussehen würde.

@Frooke: nicht so schnell, das dauert ncoh einweilchen bis wir zu solchen funktionen kommen!!

18.05.2005, 18:53

Gast1234

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Ich glaube eher, dass blondi wissen möchte, Warum zu der Funktion f(x) = 3x² die Ableitung f'(x) = 6x gehört. Also wie man über überhaupt zu dieser Regel (in dem Fall: Potenzregel) kommt.
Oder nicht? @ blondi

18.05.2005, 18:55

blondi

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Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} f( \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} )= \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

http://www.pimkie.de/board/images/smiles/icon_lol.gif

@LOED:
was sind skalare genau? verwirrt

@brunsi:
f'(x) = 4*x^1-1 - 4*12*x^4-1 + 1/2 x^1-1
= f'(x) = 4x^0 - 52^3 + 0,5x^0
= f'(x) = 4 - 52x^3 + 0,5
= f'(x) = 52x^3

verwirrt

18.05.2005, 18:56

Frooke

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Ja sorry, wollte nicht vorgreifen, aber um ein Produkt abzuleiten muss man schon auch ein Produkt als Ausgangsfunktion, dass sich nicht so ohne weiteres vereinfachen lässt...

@Gast: Hast womöglich recht...

@blondi: verwirrt

18.05.2005, 18:59

JochenX

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@blondi: neee, deine ableitung von brunsis funktion ist grütze

skalare sind ZAHLEN
also z.b f(x)=3*g(x), dann würde eben gelten: f'(x)=3*g'(x)

nimm doch noch mal das einfach e beispiel von oben:
f(x)=5x³

die formel mit dem ableiten der potenzfunktionenhilft dir dabei (x³)' zu bilden, aber mit dem 5 weißt du nicht um zugehen.

aber hier weißt du: ein konstanter faktor wird einfach stehengelassen;
f'(x)=5*(x³)'=15x²

mfg jochen

18.05.2005, 19:02

brunsi

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antwort
@blondi:

Zitat:

= f'(x) = 4 - 48x^3 + 0,5

und dass ist schon die 1.Ableitung.. Die nachflogende zeile von dir lass bloß weg, dass ist falsch:

Zitat:

= f'(x) = 52x^3

würdest du jetzt noch die 2.Ableitung dazu bilden, dann würde da nur noch der term mit x^3 zu benutzt werden.

18.05.2005, 19:02

blondi

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hö? aber ich hab doch den exponenten immer als faktor davor geschrieben und dann den exponenten minus 1

18.05.2005, 19:04

JochenX

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keine frage, aber:

4*12 <> 52

und wo sind denn die absolutglieder (mit x^0) hin?
4+0,5 die verschwinden nicht einfach beim umformen!

18.05.2005, 19:09

brunsi

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antwort
genau, die absolutglieder also die werte ohne irgend ein x bleiben für diese ableitung dann noch bestehen. Erst bei der nächsten fallen sie weg.

Noch mal ein beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^3-(-2x^1) \end{eqnarray*}$

bilde mir dazu doch noch einmal die 1.ableitung und dann auch die 2.Ableitung.

18.05.2005, 19:11

blondi

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muss ich dann einfach noch 4+0,5 rechnen = 4,5, aber das dann doch weglassen weil das keine variable hat oder wie?

was isn die 1. ableitung und was die 2.
bei der 2. lässt man die sachen die 0 werten weg ??

18.05.2005, 19:13

JochenX

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dieses 4,5 als konstante fällt beim ableiten weg
aber du leitest doch gar nicht mehr ab, das hast du doch schon getan!
gerade fasst du doch nur noch zusammen!

1. ableitung von f ist f'
die 2. ableitung ist dann die ableitung der ableitung, also f''

18.05.2005, 19:29

brunsi

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antwort
aus der 1.Ableitung leitest du die 2. (2.Ableitung!!) ab.

wenn in der 1.Ableitung werte ohne variable stehen, dann fallen die in der 2.Ableitung einfach weg.

also beispiel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2+3x-34x^2 \end{eqnarray*}$

die 2.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(X)=0+3-68x \end{eqnarray*}$

so so weiter und so weiter.

18.05.2005, 19:54

Frooke

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Nur so: Keine Variable bedeutet eigentlich für die Ableitung nach der Regel folgendes:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3=3x^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\cdot3x^{-1}=0 \end{eqnarray*}$ ...

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