2mal nicht stetig differenzierbare Funktion

06.01.2008, 21:32

Oskar P

2mal nicht stetig differenzierbare Funktion

Hallo,

ich habe eine offene, beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen (egal welche, o.B.d.A. (0,1). Ich suche eine Funktion f, welche zweimal differenzierbar ist, aber die zweite Ableitung darf nicht stetig sein. Außerdem müssen f und f' auf dem Rand stetig in 0 sein.

Da ich einfach nicht mehr weiß, was ich noch probieren kann, stelle ich meine Frage mal hier rein, ich hoffe jemand kann mir da weiterhelfen.

Vielen Dank für Tipps
Oskar

06.01.2008, 22:20

Mathespezialschüler

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Hallo!
Was genau meinst du damit, dass die zweite Ableitung nicht stetig sein darf? Soll es nur (mindestens) einen Punkt geben, wo sie nicht stetig ist?

Zitat:

Original von Oskar P
Außerdem müssen f und f' auf dem Rand stetig in 0 sein.

Soll dies bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ stetig sein sollen? Das würde keinen Sinn machen, da die beiden Funktionen dort nicht definiert sind und sich dementsprechend die Frage über Stetigkeit in diesem Punkt gar nicht stellt.

Da ich nicht genau weiß, was du suchst, hoffe ich mal, dass folgende Funktion deinen Ansprüchen genügt: $\begin{eqnarray*} f: (-1,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2\sqrt{|x|}\sin\frac{1}{x} & \text{für}\ x\neq 0 \\ 0 & \text{für}\ x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

06.01.2008, 23:29

Leopold

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[OT]

Huch, wer ist denn das! Mathespezialschüler?
Wieder da? Warst wohl auf einer einsamen Insel ohne Funk und Telefon?
Herzlich willkommen zurück in bewohnten Gefilden! Wink

[/OT]

07.01.2008, 04:35

Tomtomtomtom

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Nimm dir doch einfach eine Funktion g, die alle Eigenschaften, die du an die zweite Ableitung deiner gesuchten Funktion f stellst, erfüllt, und integriere diese zweimal.

Spontan würde mir zum Beispiel

g(x)=0 für x aus (0, 1/2)
g(x)=1 für x aus (1/2 , 1)

einfallen. Das läßt sich auch sehr schön integrieren.

Was genau du mit "auf dem Rand stetig sein" meinst, wo die Funktion f dort doch gar nicht definiert ist, weiß ich auch nicht. Aber das Beispiel läßt sich ja leicht auf Randpunkte fortsetzen.

09.01.2008, 01:16

Mathespezialschüler

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Ich muss mich leider selbst korrigieren. Die obige Funktion ist nämlich nicht zweimal differenzierbar. Mit folgender Korrektur sollte es aber nun klappen:
$\begin{eqnarray*} f: (-1,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^3\sqrt{|x|}\sin\frac{1}{x} & \text{für}\ x\neq 0 \\ 0 & \text{für}\ x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

@Tomtomtomtom
Deine Herangehensweise funktioniert leider nicht, denn du kannst zwar zu deiner Funktion die Integralfunktion bilden, diese ist allerdings in $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar! Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt aus, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x~f(t)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$

für stetiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar mit Ableitung $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ ist. Das ist aber bei deiner Funktion nicht der Fall.

Zitat:

Original von Leopold
[OT]

Huch, wer ist denn das! Mathespezialschüler?
Wieder da? Warst wohl auf einer einsamen Insel ohne Funk und Telefon?
Herzlich willkommen zurück in bewohnten Gefilden! Wink

[/OT]

So ähnlich, ja. Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Willkommensgrüße! Wink

Ich hoffe, du hattest einen guten Start ins neue Jahr.

09.01.2008, 04:36

Tomtomtomtom

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OK, da hab ich mal wieder nicht gründlich genug nachgedacht. Das stimmt natürlich, und daraus folgt dann, daß die Unstetigkeit keine Sprungstelle sein kann, sondern irgendwas "schlimmeres".

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