Kurvendiskusion von arccos

Neue Frage »

06.01.2008, 22:15	Lausmadl	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskusion von arccos Hallo, ich muss eine Kurvendiskussion über folgende Funktion durchführen und wollte fragen ob meine bisherigen Ergebnisse stimmen: $\begin{eqnarray} arccos\mid\frac{6x}{9+x^{2}}\mid \end{eqnarray}$ Meine bisherigen Ergebnisse: -1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1 Symmetrie: f(-x)=f(x) --> Achsensymmetrie Stetigkeit lim f(x) = f(-1) x-->-1 lim f(x) = f(1) --> Funktion ist stetig x->1 Differenzierbarkeit: f`(x)=(\frac{6x}{9+x^{2}})^{2} }} \cdot 2(\frac{6x}{9+x^{2}})= -\frac{1}{\sqrt{(\frac{{(9+x^{2}})^{2}-36x^{2}}{(9+x^{2})^{2}}) }} \cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) = -\frac{1}{ \sqrt{\frac{81-18x^{2}+x^{4}}{(9+x^{2})^{2}}} }\cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) =- \frac{1}{\sqrt{\frac{(9-x^{2})^{2}}{(9+x^{2})^{2}}} }\cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) =- \frac{9+x^{2}}{9-x^{2}}\cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) =-\frac{12x}{9-x^{2}}[/latex] Stimmt soweit alles bevor ich weiter mache? Danke.
06.01.2008, 22:16	Lausmadl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskusion von arccos Scheiße hab nicht alles kopiert: hier die Ableitung: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{6x}{9+x^{2}})^{2} }} \cdot 2(\frac{6x}{9+x^{2}})= -\frac{1}{\sqrt{(\frac{{(9+x^{2}})^{2}-36x^{2}}{(9+x^{2})^{2}}) }} \cdot (\frac{12x}{9+x^{2}})<br /> = -\frac{1}{ \sqrt{\frac{81-18x^{2}+x^{4}}{(9+x^{2})^{2}}} }\cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) =-<br /> \frac{1}{\sqrt{\frac{(9-x^{2})^{2}}{(9+x^{2})^{2}}} }\cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) =- \frac{9+x^{2}}{9-x^{2}}\cdot (\frac{12x}{9+x^{2}}) =-\frac{12x}{9-x^{2}} \end{eqnarray}$
06.01.2008, 23:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Untersuchung wegen der Symmetrie zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse auf $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ beschränken und dann, sofern nötig, die Ergebnisse auf $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ übertragen. Du solltest zunächst die innere Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto \frac{6x}{x^2+9} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ untersuchen. Du wirst feststellen, daß der Wertebereich das Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ ist, so daß $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ definiert ist. Kritisch sind die Stellen $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ (dort wird der Term im Innern der Betragsfunktion $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , die Betragsfunktion ist aber an der Stelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar) sowie die Stellen $\begin{eqnarray} x = \pm 3 \end{eqnarray}$ (dort wird der Term im Innern des Arcuscosinus $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , der Arcuscosinus ist aber an der Stelle $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar). Hinsichtlich Differenzierbarkeit sind diese Stellen gesondert zu untersuchen. Auch sonst stimmt deine Ableitung nicht. Paß insbesondere auf die Stellen $\begin{eqnarray} \pm 3 \end{eqnarray}$ auf!
13.01.2008, 21:23	Lausmadl	Auf diesen Beitrag antworten »
arccos Ach ja, hab ich schon reingestellt. Ich versteh des aber mit der >0 nicht. Kann ich nicht gleich einfach den Inhalt des Betrages > -1 und <1 sowie = 1 setzen, dann komme ich auf die Definitionsmenge $\begin{eqnarray} -3\leq x\leq 3 \end{eqnarray}$
13.01.2008, 21:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuche die innere Funktion $\begin{eqnarray} g(x) = \frac{6x}{x^2 + 9} \end{eqnarray}$ : Randverhalten, Extrema, Wertebereich. Du kannst das ganz mit Schulmathematik machen. Und du wirst sehen, daß der Wertebereich das Intervall $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ ist. Und wenn du die Funktion auf $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ betrachtest, ist der Wertebereich $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ .
13.01.2008, 21:35	Lausmadl	Auf diesen Beitrag antworten »
arc cos Aber warum soll ich die Funktion auf $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ untersuchen, wenn doch arccos x von $\begin{eqnarray} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray}$ sein darf. Wenn ich die Funktion auf $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ kommt 0 raus. Das verstehe ich, aber warum mach ich des? Und warum gehört -3 und +3 nicht in den Definitionsbereich.
Anzeige

13.01.2008, 21:46	Lausmadl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: arc cos Ah heißt des die Definitionsmenge ist R\ (-3,0,3)?
14.01.2008, 19:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sache mit der Verkettung hast du noch nicht verstanden. $\begin{eqnarray} v(x) = \left\| \frac{6x}{x^2+9} \right\| \end{eqnarray}$ ist die innere Funktion (roter Graph) und $\begin{eqnarray} u(t) = \arccos{t} \end{eqnarray}$ die äußere. Was $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ als Ausgabe erzeugt, nimmt $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ als Eingabe entgegen. Da $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nur Werte zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ausgibt (führe eine Kurvendiskussion durch), kann die Funktion $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nachgeschaltet werden, denn diese akzeptiert ja sowieso alles, was zwischen $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ liegt. Die Verkettung $\begin{eqnarray} f = u \circ v \end{eqnarray}$ ist also für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert. Da gibt es keine Ausnahmestellen! Um nun $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ zu untersuchen, reicht es, $\begin{eqnarray} g(x) = \frac{6x}{x^2+9} \end{eqnarray}$ zu diskutieren (blauer Graph), denn die Betragsstriche führen ja nur dazu, daß aus dem bezüglich des Ursprung punktsymmetrischen Graphen von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ (blau) der zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse symmetrische Graph von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ (rot) wird. Darauf bezog sich meine Bemerkung, es reiche, den Fall $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ zu betrachten, weil sich der Rest durch die Symmetrie ergebe.
14.01.2008, 20:17	Lausmädl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also ich hab jetzt als max. Definitionsmenge -3 bis 3 eingeschlossen

Neue Frage »

Antworten »

Kurvendiskusion von arccos

Verwandte Themen