E(X) der Exponentialverteilung

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Bobble Auf diesen Beitrag antworten »
E(X) der Exponentialverteilung
Hallo Leute,

ich soll den Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung bestimmen. Wie kann ich an die Sache 'rangehen?

Erzeugende Funktion vielleicht?
Und nehm' ich dann die Dichte oder die Verteilung zur Bestimmung der erzeugenden Funktion?

Gruß,

Bobble
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit erzeugende Funktion meinst du hoffentlich , ich kenne das eher unter dem Namen charakteristische Funktion der Zufallsgröße.

Wenn du diese Funktion bereits vorliegen hast, dann ist das sicher der schnellste Weg. Wenn du sie aber erst berechnen musst, dann ist die direkte Erwartungswertberechnung vielleicht doch einfacher.
 
 
Bobble Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so.....die charakteristische Funktion hat doch was mit der Fourier-Transformierten zu tun, oder? Aber wie das genau geht, weiß ich nicht!

Mit erzeugende Funktion hab ich eher eine Potenzreihe gemeint...also z.B.



...also so, wie man E(X) z.B. bei der Poissonverteilung zeigt...oder geht das bei stetigen Verteilungen nicht so.....?

Bobble
Bobble Auf diesen Beitrag antworten »

Meinte natürlich
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi..
also hatte irgendwann mal die gleiche aufgabe ist zwar schon etwas her aber mit der ereugenden fkt wird es (glaube ich) nicht gehen. die erzeugende fkt funktioniert so weit ich weiss nur im diskreten fall. z.B binomialverteilung wäre sehr leicht damit E(X) und V(X) auszurechnen. ich hab den erwartungswert von der exponentialverteilung so ausgerechnet:
integral von 0 bis unendlich über x*f(x) wobei f(x)=dichte der exponetialverteilung ist. V(X)= integral von 0-unendlich über (x-E(X)^2*f(x)).
ich glaub musste man partiell integrieren und irgendwie kommt man dann darauf. aber ist wie gesagt schon länger her, deswegen bin ich mir nicht mehr 100%ig sicher.
mfg bil
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hab mich etwas vertippt,
V(X)=integral von 0 bis unendlich über (x-E(X))^2*f(x)
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

im zusammenhang von Zufallsvariablen kenne ich neben der charakterischtischen Funktion zwei Arten von Erzeugendenfunktionen:

  • Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WeF):
  • Momentenerzeugende Funktion (MeF):


Der Erwartungswert von X lässt sich dann durch G'(1) bzw. M'(0) berechnen.

D.h. als erstes solltest du die Erzeugende Funktion berechnen.
Kannst du das?

Gruß
Anirahtak

EDIT: Mir fällt gerade auf, dass die WeF nur für ZVs mit diskretem Träger definiert ist, was bei der Exponetialverteilung nicht der Fall ist. Also musst du dich an der MeF oder die charakteristische Funktion halten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So richtig verschieden sind ja alle drei nicht, denn es ist



sowie



Nur, dass letztere Gleichung auf s>0 beschränkt ist.

Der große Vorteil der charakteristischen Funktion ist, dass sie eben für alle Zufallsgrößen und alle reellen Argumente t definiert ist. Das ist bei den anderen beiden Funktionen nicht immer der Fall.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Ein weiteres Problem der MeF ist, dass sie oft divergiert und nur falls M(t) <0 auf einem offenen Intervall um die 0, dann gilt diese Formel für die Berechnung des Erwartungswertes.

Also ist hier die charakteristische Funktion uneingeschränkt empfehlenswert, zumal sie bei der Exponentialverteilung eine besonders einfache Form hat.

Gruß
Anirahtak
Bobble Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hab's jetzt hinbekommen! Hab' mich noch 'ne Weile mit der charakteristischen Funktion herumgeplagt, aber irgendwie nix zustande bekommen! Auf dem "normalen" (und wahrscheinlich umständlicheren) Weg mittels partieller Integration hat's dann aber geklappt!

Danke für eure Hilfe!
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