Exponentialgleichung - Seite 2

19.05.2005, 15:49

derkoch

mir kommen vor freude die tränen! Freude

so noch ein schritt dann kommen wir zum wunschergebnis!

um deinen nenner zubearbeiten schaue dir das hier mal an!

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=17345

19.05.2005, 16:01

FD0107

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judihui

$\begin{eqnarray*} ln(a) - ln(b) = ln(\frac{a}{b}) \end{eqnarray*}$

somit folgt:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{ln(2)}{ln(1.5)} \end{eqnarray*}$

Tausend Dank !!!!!!!!!! Gott

Super unterstüztung... Würde dir gerne ein Bier ausgeben !!!

19.05.2005, 16:04

derkoch

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na dann prost! Prost

19.05.2005, 16:04

klarsoweit

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RE: Exponentialgleichung
Man kann es auch so machen:
$\begin{eqnarray*} 3^{x} = 2^{x+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{x} = 2 \cdot 2^x \end{eqnarray*}$ dividiere durch 2^x
$\begin{eqnarray*} (3/2)^{x} = 2 \end{eqnarray*}$ ln
$\begin{eqnarray*} ln((3/2)^{x}) = ln(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \cdot ln(3/2) = ln(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = ln(2) / ln(3/2) \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 16:15

FD0107

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Ich habe trotdem noch eine Frage:

Wäre es falsch, wenn ich anstatt mit lg mit log gerechnet hätte?

d.h:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{log(2)}{log(1.5)} \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 16:17

derkoch

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nein kommt jedes mal das selbe ergebnis raus! kann ja mal zum spaß beide versionen in den taschenrechner eingeben und ausrechnen!

19.05.2005, 16:33

FD0107

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Scheinbar habe das Thema immer noch nicht ganz kapiert traurig

Ich habe versucht folgende Aufgabe zu lösen:
$\begin{eqnarray*} 2^{3k} = 3^{2k} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} 3k * ln(2) = 2k * ln(3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3k*ln(2)}{2k} = ln (3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*ln(2) = ln(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k = \frac{ln(3)}{ln(2)} \end{eqnarray*}$

Leider stimmt die Aufabe nicht, da die Lösung laut meinem Lösungsheft :
$\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ ist

Könnt ihr mir bei der Fehler suche helfen?!
thx

19.05.2005, 16:36

derkoch

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fehler liegt in der 2. zur 3. zeile! bei kürzen!!!

19.05.2005, 16:46

FD0107

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Vermutlich fehlt mir hierzu wieder eine wichtige Grundlage!!!

Müsste es evt. so sein:
$\begin{eqnarray*} 1.5k*ln(2) = ln(3) \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 16:48

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \frac{3k*ln(2)}{2k} = ln (3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3*k*ln(2)}{2*k} = ln (3) \end{eqnarray*}$

was kannst du denn kürzen? Augenzwinkern

19.05.2005, 16:57

Mathespezialschüler

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Hier würde ich es anders machen. Sicher führt auch der Standardweg, den wir ja bei der Aufgabe zuvor auch gegangen sind, zum Ziel, aber es geht auch einfacher:

$\begin{eqnarray*} 2^{3k}=3^{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(2^3\right)^k=\left(3^2\right)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8^k=9^k \end{eqnarray*}$

Man sieht sofort, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, denn für $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 8^k<9^k \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 8^k>9^k \end{eqnarray*}$ . Man kann es auch umschreiben, dass man es sieht:

$\begin{eqnarray*} 1=\left(\frac{9}{8}\right)^k \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

19.05.2005, 16:57

FD0107

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Ups wie peinlich geschockt

natürlich so:

$\begin{eqnarray*} \frac{3*ln(2)}{2} = ln(3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*ln(2) = 2*ln(3) \end{eqnarray*}$

Und nun ist k verschwunden!!!
Ist desswegen k=0 ???

handelt es sich dann nicht um eine Scheinlösung?

thx

19.05.2005, 16:58

derkoch

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nee nix scheinlösung!

@ MSS: sicher hast du recht MSS ! aber unser gast ist noch ein wenig wackelig mit den gesetzen!

19.05.2005, 17:02

FD0107

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Zitat:

Original von derkoch

@ MSS: sicher hast du recht MSS ! aber unser gast ist noch ein wenig wackelig mit den gesetzen!

richtig erkannt Freude

Aber dank euer super hilfe, wird sich dies bald ändern Rock

19.05.2005, 17:03

derkoch

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na wunderbar das nenne ich doch mal ne richtige einstellung! Tanzen

19.05.2005, 17:08

Mathespezialschüler

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@derkoch
Ihr seid aber zu einer falschen Aussage gekommen, deshalb könnt ihr die Lösungsmenge nicht bestimmen! Die falsche Aussage kam zustande, weil FD0107 zwischendurch einen Fehler gemacht hat.

@FD0107
Die Lösung k=0 ist ja auch richtig, siehe meinem Beitrag.
Wären alle deine Umformungen korrekt gewesen und hättet ihr dann eine falsche Aussage rausbekommen, dann hätte es keine Lösung für k gegeben, soll heißen, die Lösungsmenge wäre leer gewesen.
Das ist sie aber nicht! Du hast einen Fehler gemacht!

Zitat:

Original von FD0107
$\begin{eqnarray*} 3k * ln(2) = 2k * ln(3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3k*ln(2)}{2k} = ln (3) \end{eqnarray*}$

Hier ist der Fehler!! Du hast durch $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ geteilt! Wenn $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist aber auch $\begin{eqnarray*} 2k=0 \end{eqnarray*}$ ! Dann teilst du aber durch 0, was natürlich nicht erlaubt ist! Das heißt, du hast $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ außer Betracht gelassen und die Umformung gilt nur für $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Da danach alles richtig war und eine falsche Aussage rauskam, kann es kein $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ geben, das die Gleichung löst.
Das heißt, dass nur $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung sein kann und wenn du das mal in die Ausgangsgleichung einsetzt: Siehe da, es stimmt! Augenzwinkern

Gruß MSS

19.05.2005, 17:12

derkoch

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yup! da war ich unkonzentriert! hab den fall nicht bedacht! traurig

19.05.2005, 18:39

FD0107

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Was heisst das für mich genau? verwirrt

Ist der Lösungsweg von "mir" falsch???

19.05.2005, 18:43

Mathespezialschüler

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Das hab ich doch gesagt!
Falsch war, dass du durch $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ geteilt hast, weil du dann durch 0 teilst, falls $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ ist, was aber nicht erlaubt ist! Du hast also den Fall $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ jetzt weggelassen, den musst du noch betrachten.

Gruß MSS

19.05.2005, 18:55

etzwane

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Zitat:

Original von FD0107
Mein Lösungsweg:
$\begin{eqnarray*} 3k * ln(2) = 2k * ln(3) \end{eqnarray*}$

und jetzt alles mit k auf die linke Seite:

3*k*ln(2) - 2*k*ln(3) = 0, jetzt k ausklammern

k*(3*ln(2) - 2*ln(3)) = 0, und wegen 3*ln(2) - 2*ln(3) ungleich 0, folgt

k=0

19.05.2005, 20:38

FD0107

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Vielen Dank! Jetzt versteh auch ich smile

Ich habe da noch eine Frage:
Kann mir jemand bestätigen, ob ich folgende Exponentialgleichung richtig gelöst habe?

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2^{x}+4^{x}= 272 \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} 2^{x}+2^{2x}= 2^{8} + 2^{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x=12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$

thx

19.05.2005, 20:42

JochenX

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hmm, das ist zumindest eine lösung, bleibt die frage, ob s die einzgie ist....

substituier doch mal 2^x=a

19.05.2005, 20:44

FD0107

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2^4 = 16

und nun? ich weiss nicht auf was du hinaus willst!?

19.05.2005, 21:08

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Zitat:

Original von FD0107
$\begin{eqnarray*} 2^{x}+2^{2x}= 2^{8} + 2^{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x=12 \end{eqnarray*}$

Also die Umformung ist schon sehr ungewöhnlich. x=4 lässt sich zwar aus der oberen geschickten richtigen Zerlegung von 272 folgern, aber mehr durch Monotoniebetrachtungen der linken Seite als Funktion von x. Ich fürchte aber, das 3x=12 ist durch eine eher haarsträubende Umformung entstanden... geschockt

19.05.2005, 21:25

FD0107

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Ich glaube, ich habe nun eine bessere Lösung!!!
Theoretisch könnte man ja die Gleichung einfach in eine Quadratische Gleichung umwanden!?
Aufjedenfall habe ich für x das selbe Resultat erhalten

Lösung:

$\begin{eqnarray*} 2^{x} + 2^{2x} = 272 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{x} + 2^{2x} - 272 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4= 2^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4^{x}=(2^{2}) = 2^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{x} = t > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} + t -272 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t1 = 16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t2 = -17 \end{eqnarray*}$

t2 = Scheinlösung da t > 0

$\begin{eqnarray*} 2^{x} =16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{x} =2^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 4 \end{eqnarray*}$

Tanzen

19.05.2005, 21:41

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So ist es "seriös"! Freude

19.05.2005, 21:59

FD0107

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Ich habe noch zu einer anderen Aufabe eine Frage:

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2^{1-x^{2}} * 2^{2x} = 64^{-1} \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} 2^{1-x^{2}} * 2^{2x} = \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{1-x^{2}} * 2^{2x} = \frac{1}{2^{6}} \end{eqnarray*}$

Kann ich nun die Gleichung mit 2^{6} multiplizieren ?
etwa so?:

$\begin{eqnarray*} 4^{6-6x^{2}} - 4^{6x} = 4^{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6x^{2} - 6x + 6 = 0 \end{eqnarray*}$

oder wie muss ich weiter machen?

thx

19.05.2005, 22:02

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Du solltest dir die Potenzgesetze nochmal genau ansehen: Einige deiner Umformungen haben damit nämlich gar nichts zu tun. unglücklich

19.05.2005, 22:03

JochenX

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Zitat:

Kann ich nun die Gleichung mit 2^{6} multiplizieren ?

aber bitte richtig unglücklich

$\begin{eqnarray*} 2^{1-x^{2}}*2^6=2^{1-x^{2}+6} \end{eqnarray*}$
beim multiplizieren zweier potenzen mit gleicher basis werden die hochzahlen addiert!

edit: arthur hats auch nett gesagt

19.05.2005, 22:12

FD0107

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so?

$\begin{eqnarray*} -x^{2} - x + 12 = 0 \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 22:37

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Keine Ahnung, durch welche Zwischenschritte du jetzt dahin gekommen bist... Ich gehe mal von

Zitat:

Original von FD0107
$\begin{eqnarray*} 2^{1-x^{2}} * 2^{2x} = \frac{1}{2^{6}} \end{eqnarray*}$

aus und wende direkt die Potenzgesetze an:

$\begin{eqnarray*} 2^{1-x^{2}+2x} = 2^{-6} \end{eqnarray*}$

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