Definition von Kompaktheit |
| 19.05.2005, 14:36 | Blabar | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Definition von Kompaktheit Ich hab mal ne Frage zur Definition von Kompaktheit und die Beispiele die hier im Lexikon erscheinen. Es steht dort dass jede unendliche Folge auf einen Kompakten Raum besitzt einen Häufungspunkt. (Mindestens einen?) Die Umkehrung davon ist aber falsch! (Es wird ein für mich bei weitem zu anspruchsvollen Beispiel vorgestellt) Aber ok... mein Problem kommt erst wenn ich weiter lese * Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jede Folge in dem Raum eine Teilfolge mit Grenzwert in dem Raum hat. Hmm... ist es nicht sehr ähnlich zu dem was oben steht? 
Ich will selbstverständlich nicht dir richtigkeit dieser Sätze in Frage stellen, ich würde nur gerne dass mir jemand erklärt was der Unterschied zwischen den einen und den anderen Satz ist. Hat es damit zu tun dass der zweite ein metrischer Raum ist, der erste aber auf beliebige topologische Räume gelten soll? Wenn es so ist.. in wie weit kann ich beim ersten Satz "genau dann wenn" annehmen? Schon mal vielen dank für die Antworten! Hoffentlich habe ich mein Problem verständlich ausgedrückt! Mfg. Blabar |
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| 19.05.2005, 15:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Verschoben Ich kenne mich zwar mit topologischen Räumen noch nicht aus, aber ich würde sagen, du hast insofern Recht, dass der erste Satz/die erste Definition (was es auch immer sein mag) sich auf allgemeine topologische Räume und der zweite sich halt speziell auf metrische Räume bezieht. Aber die beiden Aussagen sind ja nicht identisch (sehen wir mal von der Art des Raumes ab). Bei der einen wird von Häufungspunkten, bei der anderen von Teilfolgen gesprochen. Allerdings sind sie sich wirklich sehr ähnlich. Du kannst ja die zweite auch umformulieren zu Ein metrischer Raum K ist genau dann kompakt, wenn jede Folge aus K einen Häufungspunkt in K besitzt. Mehr kann ich dir leider nicht sagen, da ich mich in diesem Gebiet noch nicht gut genug auskenne. Gruß MSS |
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| 19.05.2005, 21:42 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo. Eine Zahl ist genau dann Häufungswert einer Folge, wenn es eine Teilfolge derselben gibt, die gegen die Zahl konvergiert. Ob man also fordert, dass jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt oder dass jede Folge einen Häufungswert hat, spielt keine Rolle. Räume, die diese Forderung erfüllen, nennt man folgenkompakt. Dein erster Satz besagt also "Kompaktheit => Folgenkompaktheit". Darf ich fragen, für welche Räume dieser Satz gelten soll? Ich kenne den Beweis für diese Folgerung nämlich nur für einsabzählbare Hausdorffräume und mich würde interessieren, ob sie vielleicht allgemeiner gilt. Mich verwirrt etwas, dass du von einer "unendlichen Folge" sprichst. Bist du sicher, dass dort nicht vielleicht "unendliche Menge" steht? Die Eigenschaft, dass jede unendliche Menge einen Häufungspunkt hat, nennt man Häufungspunktkompaktheit und es gilt für einen allgemeinen topologischen Raum Kompaktheit => Häufungspunktkompaktheit. Für einsabzählbare Hausdorffräume gilt dann weiter Häufungspunktkompaktheit => Folgenkompaktheit. Hat man mit zweitabzählbaren Hausdorffräumen oder metrischen Räumen zu tun, sind sogar alle 3 Kompaktheitsbegriffe äquivalent, dies zeigt dein zweiter Satz im Falle eines metrischen Raumes. Ich hoffe, jetzt ist es klarer. |
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| 20.05.2005, 10:48 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
in Kurzform: für das sehr allgemeine Konzept von topologischen Räumen gibt es mehrere verschiedene Arten von Kompaktheit, diese implizieren einander teilweise, eventuell unter Zusatzvorraussetzungen. Man kann Kompaktheit zB über Überdeckungen oder über Folgen und ihre Grenzwerte bzw Häufungspunkte definieren. Auf metrischen Räumen, die eine Teilmenge der topologischen Räume bilden (quasi topologische Räume mit Metrik) sind, sind diese Def alle äquivalent, wenn der metrische Raum endlich-dimensional ist, ist Kompaktheit auch äquivalent zu beschränkt + abgeschlossen |
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| 21.05.2005, 15:27 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß jetzt, dass das, was ich zuerst gesagt habe, falsch ist. "Eine Zahl ist genau dann Häufungswert einer Folge, wenn es eine Teilfolge derselben gibt, die gegen die Zahl konvergiert." ist in einem allgemeinen topologischen Raum falsch. Es gibt Folgen mit Häufungswerten, die keine konvergente Teilfolge haben, nur die Umkehrung ist richtig. In einem allgemeinen topologischen Raum folgt aus der Kompaktheit auch tatsächlich die "Jede Folge hat einen Häufungspunkt" Eigenschaft, "Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge" stimmt in einem beliebigen kompakten topologischen Raum jedoch nicht immer. Man sieht, man muss hier sehr vorsichtig sein. |
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| 23.05.2005, 09:11 | Blabar | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi! sorry dass ich so gedauert hab
die Uni überfordert mich mal wieder.. *seufz*Ich hab mir mehrmals eure Antworten durchgelesen, sie sind in der tat hilfreich und aufklärend. Ich hab herausgefunden dass ich eine Frage in einem Mathe Gebiet gestellt hab, in den man nicht einfach so locker Fragen darf 
Hausdorffsche Räume sind mir zum Beispiel nicht bekannt... Ich denke jetzt hab ich mindestens einen schimmer um was es geht, und mehr oder weniger was für einen Raum man Voraussetzen müsste, um im Bereich zu sein in dem wir üblicherweise in Analysis 1 und 2 arbeiten, nämlich nicht ein allgemeiner topologischer Raum sondern ein metrischer Raum, also eine geordnete Menge versehen mit einer Metrik. Trotzdem noch eine Unklarheit: @gast1 Nein, ich meine sicher eine unendliche Folge, also eben eine "Normale" Folge
Du hast geschrieben: "Eine Zahl ist genau dann Häufungswert einer Folge, wenn es eine Teilfolge derselben gibt, die gegen die Zahl konvergiert." ist in einem allgemeinen topologischen Raum falsch. Hmm... jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. Nehmen wir mal eine Folge die einen Häufungspunkt hat. Ob es jetzt eine Teilfolge gibt die gegen diese Zahl KONVERGIERT oder nicht, ist eher eine Frage der Vollständigkeit des Raumes, und nicht der Kompaktheit (auch wenn die beide Begriffe nach meinen armen verstehen eng verwandt sind). Weiter schreibst du: "In einem allgemeinen topologischen Raum folgt aus der Kompaktheit auch tatsächlich die "Jede Folge hat einen Häufungspunkt" Eigenschaft, " Sorry, aber hier bin ich wieder etwas verwirrt. Ist es eigentlich so das jede Folge einen Häufungspunkt besitzt!? Meinst du zum Beispiel damit dass die Folge (a_n) = n für n € IN als Häufungspunkt "unendlich" besitzt? Ich hab den Eindruck dass die Aussage "Jede Folge hat einen Häufungspunkt" nicht unmittelbar in Verbindung mit der Kompaktheit steht. Bitte kläre mich vom Gegenteil wenn ich hier falsch liege! 
Habe ich etwas vergessen? Vielen Dank euch 3 für eure Antworten! Mfg. Blabar |
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| 23.05.2005, 12:54 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Blabar. Zuerst hatte ich behauptet, es sei egal, ob man fordere (1) "Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge." oder (2) "Jede Folge hat einen Häufungspunkt." Dies war falsch. Allgemein folgt aus (1) zwar (2), die Umkehrung gilt jedoch nicht (ich persönlich kann sie nur für einsabzählbare Räume beweisen, ich weiß nicht, ob sie noch allgemeiner gilt). Es gibt also Räume, in denen (2) gilt, (1) jedoch nicht, insbesondere gibt es also Folgen, die einen Häufungspunkt haben, ohne jedoch eine konvergente Teilfolge zu besitzen. Ein Beispiel für einen solchen Raum ist die Menge aller Abbildungen mit der Produkttopologie. Dies zu zeigen übersteigt jedoch meine derzeitigen Möglichkeiten, da man hierfür unter anderem den Satz von Tychonoff braucht, dessen Beweis nicht unbedingt als einfach zu bezeichnen ist. Zurück zur Kompaktheit: Allgemein gilt Kompaktpaktheit => (2), wie es dein Satz auch sagte, Kompaktheit => (1) gilt jedoch nicht (gleiches Gegenbeispiel wie oben). In metrischen Räumen gilt jedoch Kompaktheit <=> (1) <=> (2). Wegen (1) <=> (2) in metrischen Räumen ist dein erster allgemeiner Satz Kompaktheit => (2) in deinem zweiten Satz für metrische Räume Kompaktheit <=> (1) enthalten. Zu der zweiten Frage: Für metrische Räume gilt Kompaktheit <=> (2). mit ist, als Folge in aufgefasst, keine Folge in einem kompakten Raum ( ist nicht kompakt), also gibt es auch keinen Grund, dass (2) gilt. Es gibt also in metrischen Räumen einen sehr deutlichen Zusammenhang zwischen der Kompaktheit und (2), sie sind nämlich äquivalent. Ich hoffe, es ist ein bisschen klarer geworden. Gruß gast1 |
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| 23.05.2005, 18:04 | Blabar | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo gast1! Danke für die schnelle und klare Antwort! Ich muss aber weiter Fragen. Sei nun eine A eine kompakte Menge. Dann muss es für alle Punkte a aus A eine Folge in A geben, die eine Teilfolge enthält die gegen a konvergiert, oder? Erste Frage: Warum kann man nicht gleich sagen dass es eine Folge in A gibt die gegen a konvergiert? (oder kann man dass!?) Ich würde sagen dass man das kann, da eine Teilfolge ja selber eine Folge ist! Es wird aber andauernd nur von Teilfolgen gesprochen!
Zweite Frage: (kann es leider nicht besser Ausdrücken!
) Wir sind doch "sehr nahe" darann zu sagen dass es für jeden Punkt a in A eine Folge gibt die gegen a konvergiert. Folgt daraus nicht unmittelbar die Vollständigkeit von A? Die Begriffe Kompakt und Vollständig würden dann Äquivalent sein, wass sie ja nicht sind. Kann mann sich irgendwie anschaulich den Unterschied zwischen beiden Begriffen vorstellen? Oder liege ich total daneben die beiden Begriffe vergleichen zu wollen!? Hoffentlich habe ich nicht zu abstrakt gefragt! mfg. Blabar |
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| 23.05.2005, 18:55 | gast1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dass es zu jedem Punkt eine Folge gibt, die gegen diesen Punkt konvergiert, ist trivial und sinnlos. Es geht darum, dass jede beliebige Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Ich weiß nicht, wie du davon auf diese erste Aussage gekommen bist. Auch mit Vollständigkeit hat die erste Aussage nichts zu tun. Man zeigt leicht, dass für einen metrischen Raum gilt "Jede Folge aus A besitzt eine konvergente Teilfolge" => "A ist vollständig" (die Umkehrung muss aber nicht gelten). Da die erste Eigenschaft äquivalent zur Kompaktheit ist, ist also jeder kompake metrische Raum vollständig. Es gibt also einen Zusammenhang zwischen den beiden Begriffen, von einem "Vergleich" würde ich aber nicht sprechen. |
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| 23.05.2005, 20:10 | Blabar | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo gast1! Ok, ich sehe ein dass ich ein bisschen Schrott erzählt hab. Es kam aber von dem Standard Beispiel für Vollständigkeit mit Ich dachte einfach an eine Cauchy Folge die in konvergieren würde, und naja.. an eine etwas falsche Vorstellung von all diesen Begriffe. Bin ich richtig wenn ich sage dass die Aussage "Jede beiliebige Folge besitzt eine konvergente Teilfolge", "nur" eine Verallgemeinerung der Aussage "Jede beliebige Folge konvergiert" ? Das mit den "Teilfolgen" verwirrt mich immer ein bisschen.
Ich will mir das ganze einigermaßen vorstellen können, scheitere aber (unter anderem
) an die ständigen "Teilfolgen".Wenn aber die erste Aussage wirklich "nur" eine Verallgemeinerung der zweiten ist, dann werde ich von nun an intuitiv nur mit der zweiten "denken", und ich denke dass dies ein wirklicher Fortschritt für mich sein wird. mfg. Blabar |
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