Hermitische Polynome

19.05.2005, 16:48

Chewie

Hermitische Polynome

Ich soll die ersten 3 Hermiteschen Plynome $\begin{eqnarray*} H_0, H_1, H_2 \end{eqnarray*}$ aus der Integraldarstellung:

$\begin{eqnarray*} H_n(x) = \frac {1} {\sqrt{\pi}} * 2^n * \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}~ (x+iy)^n * e^{-(y*y)}~ dy \end{eqnarray*}$

bestimmen.

Für $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ fällt ja ein bischen weg...
$\begin{eqnarray*} \rightarrow H_0 = \frac {1} {\sqrt{\pi}} * \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}~ e^{-(y*y)} ~ dy \end{eqnarray*}$
Mir stellt sich da nur das Problem, dieses Integral zu berechnen.

Genauso für $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}~ (x+iy) * e^{-(y*y)} ~dy = \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}~ x * e^{-(y*y)}~dy + \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}~ iy * e^{-(y*y)}~dy \end{eqnarray*}$
und bei $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}~ (x+iy)^2 e^{-(y*y)} ~dy \end{eqnarray*}$

Kann mir da wer helfen? Habs partiell und mit Substituiotn versucht, führte bei mir aber nicht zum Erfolg.

19.05.2005, 17:19

Mathespezialschüler

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Gruß MSS

19.05.2005, 17:53

Leopold

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Verwende das Gaußsche Fehlerintegral $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \ = \ \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Beachte bei $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~y \operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ , daß der Integrand ungerade ist, so daß der Wert des Integrals unmittelbar klar ist.

Und mit partieller Integration läßt sich Folgendes behandeln:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~y^2 \operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \ = \ -\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}~y \cdot \left(-2y \operatorname{e}^{-y^2} \right)~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{2} \left( \left. y \operatorname{e}^{-y^2} \, \right|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \right) \ = \ \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 20:28

Chewie

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Zitat:

Original von Leopold
Verwende das Gaußsche Fehlerintegral $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \ = \ \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Danke Leopold.
Den zweiten Teil habe ich dann auch nachvollziehen können, aber zum ersten: Das Gaußsche Fehlerintegral hatte ich noch nicht, kennst du da zufällig ne schöne Seite zu? Hab kurz gegooglet, aber nichts schönes gefunden, bzw Fubini und Polarkoordinaten helfen mir nicht weiter, da ebenfalls nicht bekannt (und sieht auch nciht gerade einfach aus).

Zitat:

Original von Leopold
Beachte bei $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~y \operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ , daß der Integrand ungerade ist, so daß der Wert des Integrals unmittelbar klar ist.

Das heißt, das Integral ist gleich Null. Aber warum kannst du so einfach sagen, dass der Integrand ungerade ist? Spielt das $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{-y^2} \end{eqnarray*}$ keine Rolle? Wenn nicht, warum nicht?

19.05.2005, 20:38

Mathespezialschüler

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Für das Gaußsche Fehlerintegral braucht man den Satz des Fubini nicht.
Betrachte einmal die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(y)=y\operatorname{e}^{-y^2} \end{eqnarray*}$

Da dürfte es doch trivial sein (einfach mal einsetzen!), dass

$\begin{eqnarray*} f(-y)=-f(y) \end{eqnarray*}$

ist.

Gruß MSS

19.05.2005, 21:03

Leopold

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Zitat:

Original von Chewie
Das Gaußsche Fehlerintegral hatte ich noch nicht, kennst du da zufällig ne schöne Seite zu? Hab kurz gegooglet, aber nichts schönes gefunden, bzw Fubini und Polarkoordinaten helfen mir nicht weiter, da ebenfalls nicht bekannt (und sieht auch nciht gerade einfach aus).

Mir ist kein elementarer Zugang (d.h. mit Schulmathematik) zum Gaußschen Fehlerintegral bekannt. Entweder verwendet man zweidimensionale Integrale, komplexen Integrationskalkül oder stellt Zusammenhänge her zu anderen analytischen Darstellungen, z.B. zum Wallis-Produkt. Ich würde sagen: Akzeptiere einfach den Wert des Integrals, wenn du seine Herleitung im Moment noch nicht verstehst.

Edit

Und hier findest du mehr zu diesem Thema. Insbesondere (34) ist von Interesse, da man damit die Polynome rekursiv berechnen kann.

20.05.2005, 15:01

Chewie

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} f(y)=y\operatorname{e}^{-y^2} \end{eqnarray*}$

Da dürfte es doch trivial sein (einfach mal einsetzen!), dass

$\begin{eqnarray*} f(-y)=-f(y) \end{eqnarray*}$

ist.

Gruß MSS

Okay, also wenn daszutrifft, ist automatisch das Integral = 0. Mir fehlt zwar der letzte "klick" aber irgendwie hab ichs verstanden.
Ich hab aber sogar die Stammfunktionzu $\begin{eqnarray*} y* \operatorname{e}^{-y^2} \end{eqnarray*}$ und damit sieht man es dann erst recht.

Werde mir die Seite mal genauer angucken Leopold, aber ich weiß jetzt immerhin, das meine 3 Ergebnisse richtig sind (mit Hilfe des Gaußschen Fehlerintegrals und ein bischen Getüftel beim Stammfunktionen finden hats dann endlich hingehauen smile

)

Danke

20.05.2005, 15:13

Mathespezialschüler

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Hier siehst du im Ansatz, dass die Flächeninhalte sich aufheben!

Gruß MSS

20.05.2005, 21:32

Chewie

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Und weiter gehts...

Nun soll ich durch Einsetzen in die oben genannten Integralformel zeigen, dass die Hermiteschen Polynome die erzeugende Funktion:

$\begin{eqnarray*} F(t,x):= \sum_{n=0}^\infty~\frac{t^n}{n!}H_n(x) = e^{-t^2+2tx} \end{eqnarray*}$

Ich hab versucht, die erz. Fkt. nach $\begin{eqnarray*} H_n(x) \end{eqnarray*}$ aufzulösen, aber durch die Summe habe ich ja immernoch kleinere $\begin{eqnarray*} H_n(x)'s \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite. Und wenn ich die Integralformel in die erz. Fkt. Formel reinbringe, entgegen der Aufgabenstellung, bringt mich das ebenso wenig voran.
Wie fang ich also am besten an?

edit: latex-Code verbessert. Bitte für den Ableitungsstrich nicht ´ benutzen, sondern das Apostroph ' ! Augenzwinkern

(MSS)

20.05.2005, 23:05

Chewie

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Das sollte kein "Ableitungsstrich" sein, sondern das "Plural´s" obwohl man das wohl ohne `schreiben würde...

Mit "kleinere $\begin{eqnarray*} H_n(x) \end{eqnarray*}$ meine ich, dass, wenn ich die SUmme auflöse, ja folgendes erhalte:

$\begin{eqnarray*} 1*H_0(x)+t*H_1(x)+\frac{1}{2!}*t^2H_3(x)+....+\frac{1}{n!}*t^n *H_n(x) \end{eqnarray*}$
und das dann nach $\begin{eqnarray*} H_n(x) \end{eqnarray*}$ umgestellt, bringt mir die ganzen $\begin{eqnarray*} H_0 bis H_(n-1) \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite und so sehe ich keinen Erfolg.

Diese Reihe sieht der Taylorreihe ziemlich ähnlich, wüsste aber nicht, ob man da was draus machen kann.

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