Zwei Tangenten von einem Punkt an f(x) anlegen?

20.05.2005, 10:29

MrRT

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Zwei Tangenten von einem Punkt an f(x) anlegen?

Guten morgen alle zusammen.
Ich hab schon wieder ne Frage. Ich komm bei einer Teilaufgabe nicht weiter.

Und zwar habe ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{6}x^{2}(x-6) \end{eqnarray*}$
Jetzt sollen vom Punkt $\begin{eqnarray*} P(\frac{14}{3}/8) \end{eqnarray*}$ zwei tangenten an $\begin{eqnarray*} Kf \end{eqnarray*}$ gelegt werden und Ihre Gleichungen herausgefunden werden.

Ich habe zuerste versuch es über die 2 Punktform zu machen, bin aber schon beim Ansatz nicht mehr weiter gekommen. Hab ehrlich gesagt keinen schimmer, wie ich die Aufgabe überhaupt angehen soll unglücklich

unglücklich

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte Hilfe

Hilfe

Gruß MrRT

20.05.2005, 10:41

iammrvip

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Dann nimmst du die Punktrichtungsgleichung ein ersetzt $\begin{eqnarray*} m = f'(x) \end{eqnarray*}$ , weil die erste Ableitung ja den Anstieg einer Tangente an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Also

$\begin{eqnarray*} y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

x_0...ist der x-Wert des Punktes Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ hast du auch schon, das ist der y-Wert.

20.05.2005, 10:51

MrRT

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Ok, soweit hab ich auch schon gerechnet, aber:
$\begin{eqnarray*} y=f'(x)*(x-\frac{14}{3})+8 \end{eqnarray*}$ dann setzte ich mein $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ein:
$\begin{eqnarray*} y=(\frac{1}{2}x^2+2x)*(x-\frac{14}{3})+8 \end{eqnarray*}$ und Löse es auf:
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}x^3- \frac{1}{3}x^2- \frac{28}{3}x+8 \end{eqnarray*}$ .

OK, wenn ich es aber dann per Polynomdiv. rehne kommt ne scheiß raus! traurig

traurig

Wenn ich dann die Tangenten zeichne schneiden die sich, aber nicht in Punkt P.

20.05.2005, 10:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt, habe ich den Ansatz jetzt nicht verstanden. Wenn ich es richtig sehe, setzt obiger Ansatz voraus, daß P auf f liegt. Das ist aber nicht der Fall.

Also gesucht ist doch ein (zwei) Punkte (x0, f(x0)) mit:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{y_p - f(x_0)}{x_p - x_0} \end{eqnarray*}$
Dabei sind x_p und y_p die Koordinaten von P. Jetzt alles einsetzen und man erhält eine Gleichung für x_0.

20.05.2005, 11:19

MrRT

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Also wenn ich mich nicht verrechnet hab, dann habe ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=-\frac{2}{3}x^3+ \frac{1}{3}x^2+ \frac{28}{3}x-8 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich diese jedoch auch mittels Polynomdiv. löse, kommt auch nicht der schnittpunkt in Punkt P?

Kann es eigentlich sein, da P der Schnittpunkt der beiden Tangenten ist, dass man diese Gleichsetzt?

20.05.2005, 11:32

brunsi

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antwort
wenn du die beiden tangenten gleichsetzt, dann bekommste ja nur den schnittpunkt raus. und welche tangenten willst du gleichsetzen? du hast doch ibis jetzt noch keine berechnet.
kann mal jemand eine skizze der Funktion f(x) plotten ich check noch nicht ganz, wie das mit diesem plotter gehen soll.

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20.05.2005, 11:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrRT
Also wenn ich mich nicht verrechnet hab, dann habe ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=-\frac{2}{3}x^3+ \frac{1}{3}x^2+ \frac{28}{3}x-8 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe eine andere Gleichung raus.

20.05.2005, 11:47

brunsi

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antwort
ich hätte da auch mal eine frage:

wenn ich bei diesem beispiel die tangente aufstellen will, kann ich die erst durch dei Steigung im Punkt P aufstellen?

Wenn ja, dann könnte ich hieraus eine Tangentengleichung aufstellen und dann doch einfach die mit der Funktion f(x) schneiden. da müsste ich dannd och die 2 Punkte rausbekommen, durch die die beiden Tangenten in P laufen sollen oder???? verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Hilfe

Hilfe

Hilfe

20.05.2005, 11:47

MrRT

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So hier mal der Graph:

Und der Punkt liegt außerhabl $\begin{eqnarray*} P(\frac{14}{3} /8) \end{eqnarray*}$

20.05.2005, 11:54

klarsoweit

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Wie ich oben schon sagte, ist der Ansatz:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{y_p - f(x_0)}{x_p - x_0} = \frac{8 - f(x_0)}{(14/3) - x_0} \end{eqnarray*}$
Ist der Ansatz verstanden?
Wenn ja, berechne f'(x0)und schreibe die Gleichung mal hin.

20.05.2005, 11:58

brunsi

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antwort
kommen für die x-Koordinaten der beiden Punkte auf dem Graphen Folgende Werte raus??

$\begin{eqnarray*} x_1=(2/3) und x_2=-(14/3) \end{eqnarray*}$

20.05.2005, 12:00

MrRT

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Also ich hab mal den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}*x^2+2*x)*(\frac{14}{3}-x)= 8-(-\frac{1}{6}*x^3+x^2) \end{eqnarray*}$
Es kann ja sein, dass ich vorhin was beim umstellen falsch gemacht hab, aber wenn ich die in ein Matheprogramm eingeb, gibt er mir für x:

x1=-3,315
x2=0,803
x3=4,512

wenn ich jetzt ne Tangente an x2 und x3 leg bekomme ich aber immer noch nicht den Schnittpunkt in Punkt P

20.05.2005, 12:20

brunsi

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antwort
vielleicht solltest du nen anderen ansatz wählen??

ich warte ja imme rnoch drauf, dass mir jemand meine punkte bestätigt oder eben auch nicht.

20.05.2005, 12:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrRT
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}*x^2+2*x)*(\frac{14}{3}-x)= 8-(-\frac{1}{6}*x^3+x^2) \end{eqnarray*}$

Ein kleiner Vorzeichenfehler. Wie lautet denn die 1. Ableitung?

@brunsi: warte erstmal die Lösung ab, vielleicht klären sich dann deine Fragen.

Zitat:

Original von brunsi
wenn ich bei diesem beispiel die tangente aufstellen will, kann ich die erst durch dei Steigung im Punkt P aufstellen?

Wenn ja, dann könnte ich hieraus eine Tangentengleichung aufstellen und dann doch einfach die mit der Funktion f(x) schneiden. da müsste ich dannd och die 2 Punkte rausbekommen, durch die die beiden Tangenten in P laufen sollen oder???? verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Vielleicht hast du auch die Aufgabenstellung nicht ganz verstanden. Irgendwo liegt der Punkt P. Gesucht ist ein Punkt Q auf der Funktion, so daß die Gerade durch P und Q gleichzeitig Tangente an die Funktoin im Punkt Q ist.

20.05.2005, 12:28

MrRT

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@brunsi: Also du meinst, dass wenn man auf $\begin{eqnarray*} x1=(3/2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2=-(14/3) \end{eqnarray*}$ eine Tangente an $\begin{eqnarray*} Kf \end{eqnarray*}$ leg dann schneiden die sich in Punkt $\begin{eqnarray*} P(\frac{14}{3}/8) \end{eqnarray*}$

Also das ist nicht der Fall. Aber ich schau gerade ob ich numerische mit Hilfe von Excel ran komm.

Diese Teilaufgabe gibt von 6 Teilaufgaben die wenigsten Punkte, also kann so doch eigentlich gar nicht so schwer sein, oder?

20.05.2005, 12:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrRT
Diese Teilaufgabe gibt von 6 Teilaufgaben die wenigsten Punkte, also kann so doch eigentlich gar nicht so schwer sein, oder?

Ist sie auch nicht, wenn du mal die 1. Ableitung richtig ausrechnest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2005, 12:31

MrRT

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Sorry, Natürlich $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x^2+2x \end{eqnarray*}$

20.05.2005, 12:35

klarsoweit

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OK!

Freude

Und jetzt löse die Gleichung, die du oben schon hattest.

20.05.2005, 12:37

MrRT

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Ach scheiße, diese Ewig langen Gleichungen. klarsoweit du hattest du ganze zeit recht, die lösung ist $\begin{eqnarray*} x1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2=6 \end{eqnarray*}$ .

Also stimmt wieder die Regel, dass man die hälfte seines Lebens auf der suche nach dem Richtigen Vorzeichen ist Hammer

Hammer

Aber danke nochmal an Euch alle Freude

Freude

20.05.2005, 12:41

klarsoweit

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Juchhu!

Prost

Und wenn auch brunsi mit der Vorgehensweise einverstanden ist, wäre es kaum zum Aushalten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2005, 12:45

MrRT

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Jetzt hab ichs verstanden, es war halt immer dieser Vorzeichenfehler. Deshalb kam nie was gescheites bei raus.

Nochmals vielen Dank... klarsoweit du bist echt gut Gott

Gott

20.05.2005, 13:07

brunsi

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antwort
ok, dann soll der threadschreiber jetzt mal deinen lösungsweg so akzeptieren, aber wie geht das denn ohne die von iammrvip eingeführte gleichung????

20.05.2005, 13:17

klarsoweit

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RE: antwort
Die Gleichung von iammrvip hilft hier nicht.
Ich erläutere nochmal meinen Ansatz:
Irgendwo liegt der Punkt P(x_p; y_p). Gesucht ist ein Punkt Q(x_0; y_0) auf der Funktion, so daß die Gerade durch P und Q gleichzeitig Tangente an die Funktion im Punkt Q ist.
Die Steigung dieser Geraden ist $\begin{eqnarray*} m = \frac{y_p - y_0}{x_p - x_0} \end{eqnarray*}$
Dabei ist y_0 = f(x_0) und m = f'(x_0). Jetzt braucht man den ganzen Krempel nur einsetzen. Klar soweit?

20.05.2005, 13:32

etzwane

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Ein bißchen mit dem Funktionsplotter rumgespielt, ohne etwas zu rechnen, könnte fast passen:

20.05.2005, 13:45

brunsi

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RE: antwort
@klarsoweit: das ist mir ja auch klar, aber ich habe so gedacht:

Mein Ansatz: da die Tangente der Form: y=mx+b überall die gleiche steigung hat und sie zudem auch noch die Funktion berührt, setzt man den Punkt P einfach in die 1.Ableitung der Funktion ein und erhält die Steigung.

Das ist jetzt bestimmt falsch, aber warum???

20.05.2005, 13:55

klarsoweit

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RE: antwort
Hmm, verwirrt

verwirrt

, was soll das bringen. Wie willst du den Punkt P in die 1. Ableitung der Funktion einsetzen?. Allenfalls kannst du die Stelle x = 14/3 einsetzen. Dann hast du die Steigung der Funktion an dieser Stelle. Aber was soll das bringen, zumal der Punkt P gar nicht auf der Funktion liegt?

20.05.2005, 14:36

brunsi

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RE: antwort
nee gut hast, recht,d ass bringt überhaupt nichts. ich notiere mir lieber deinen ansatz und lösungsweg!!

20.05.2005, 18:42

kA

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Hi jungs, meine frage passt zu dem thema net ganz aber es hat mit der selben aufgabe zu tun.

Wenn ich die obigen Gleichungen ausrechne und eine Nullgleichung mach, kommt sowas raus:

x³-10x²+28x-24=0

Soweit so gut. Das hat auch mein Lösungsvorschlag denn ich erhalten habe auch raus. Bei dem Vorschlag folgt dann aus der Gleichung x=2 und x=6 (so wie auch beim MrRT), was ja auch stimmt.

Mein Problem besteht allerdings darin, dass ich nicht weiß wie ich aus der Gleichung die beiden Werte berechne.
Raten und Probieren wären mir zu doof, weil das in einer (bevorstehenden) Prüfung zu viel Zeit in Anspruch nehmen wird.

Deswegen meine Frage, könnt Ihr mir erklären wie man das berechnet, vllt auch anhand anderer Beispiele.
(Am besten so ausführlich wie möglich)

Danke.

20.05.2005, 19:45

MrRT

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hi KA,

mal abgesehen, dass man in Mathe nicht viel Rät, würde ich sagen, du merkst dir die Formel, die klarsoweit aufgestellt hat.
Aber ich versuch sie mal einfach zu erklären und herzuleiten. klarsoweit korrigiert mich, wenn ich Falsch bin.

Du hast die Punkt-Steigungs-Form: $\begin{eqnarray*} m=\frac{y-y_1}{x-x_1} \end{eqnarray*}$
Du weißt, das die Steigung $\begin{eqnarray*} m=f'(x) \end{eqnarray*}$ ist. Somit sind wir schon mal bei $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{y-y_1}{x-x_1} \end{eqnarray*}$ .
Wenn du die Form $\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$ hast kannst du ja zu jedem x (bzw. y) Wert den y (bzw. x) Wert berechnen. Da wir jetzt eine Gerade haben, wo wir schon den x und y Wert haben können wir sagen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{y_p-y_1}{x_p-x_1} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt haben wir noch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und das sind die Punkte, auf dem Graphen. Und weil $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ kommt die Formel von klarsoweit heraus:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{y_p-f(x)}{x_p-x} \end{eqnarray*}$

Alles klar soweit?

20.05.2005, 20:18

kA

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jop soweit alles klar smile

smile

(war ja auch bis dahin schon vorher so)

aber nur zu mach weiter, bin gespannt smile

smile

20.05.2005, 20:35

MrRT

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Da kommt nicht noch mehr, dass wars.
Jetzt einfach deine Werte für den Punkt einsetzen, die Gleichungen einsetzen und nach x umstellen und ausrechnen. Auf Vorzeichen achten (deshalb hab ich so lang gebracht Hammer

Hammer

).
Wenn nötig eben ne Polynomdiv oder Mitternachtsforme anwenden.

Also ehrlich gesagt versteh ich dein Problem nicht verwirrt

verwirrt

Vielleicht kannst es ja nochmal ein bißchen genauer beschreiben.

20.05.2005, 20:54

kA

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hmm k ich versuchs nochmal konkreter.

x³-10x²+28x-24=0

wie löse ich das nach den möglichen x auf?
(ich weiß die sind x1=2 und x2=6, hast du ja auch)

nur wie ich nach den auflöse oder die rauskriege weiß ich nicht.
pq-formel kann ich bei quadratischen gleichungen verwenden oder auch ausklammern zB. x² + 7x=0 , x(x+7)=0 daraus folgt x=0 und x=-7.
nur was mach ich bei der oben genannten gleichung?
ist weder quadratisch noch hat sie ein gemeinsamen faktor.
dafür müßte es ne andere Möglichkeit geben und die will ich wissen.

hoffe hab mein prob jetzt genauer geschildert Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2005, 21:03

MrRT

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Also, wenn du einen Gleichung ohne absolutglied hast, kannst erst mal ausklammern: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (--> Absolutglied)

Wenn du eine Gleichung mit einem Absolutglied hast, musst du diese Gleichung bis auf eine Quadratische Gleichung durch Polynomdivision vereinfachen. Und bei jeder Polynomdivision bekommst du noch ein

[IMG]http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/graphics/sfs0001b.gif[/IMG]en x-Wert heraus.
Den ersten x wert für die Polynomdivision musst du natürlich Raten bzw. mit dem GTR anrechnen und meinet wegen durch einsetzen überprüfen, sodass die Lehrer sehen, was du gemacht hast.

Wenn du nicht mehr weißt wie die Polynomdivision geht, hier nochmal ganz genau:

http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/graphics/sfs0001a.gif

http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/graphics/sfs0001b.gif

Ich hoffe ich konnte deine Frage damit beantworten.

20.05.2005, 21:14

kA

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hm danke sieht gut aus Gott

Gott

werd erstma brauchen um das genauer zu studieren und paar mal zu testen um sicherer zu werden.

das ist die polynomdiv und was ist die mitternachtsformel oder wie du sie genannt hast?

20.05.2005, 21:22

MrRT

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die Mitternachtsformel heißt so, weil man diese eigentlich zu jeder Tag und Nachtzeit auswendig wissen muss.
Du hast eine Quadratische Gleichung mit $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Und bei der pq-Formel musst du das a zuerst weg bekommen. Die Mitternachtsformel wendest du einfach immer an.

Das ist die Mitternachtsformel: $\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ Wink

Wink

Aber mal ne Frage, wenn du vor ner Prüfung stehst, solltest du das eigentlich wissen, zumindest die Mitternachtsformel!

20.05.2005, 21:53

kA

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jo stehe mehr oder weniger kurz vor einer prüfung. matheprüfung ist am 3 oder 4 Juni. (Vektorrechnung, Analysis, Integralrechnung, sin-cos usw.)
Bin ich froh wenn ich das hinter mir hab, dnan wird Prost

Prost

Diese Mitternachtsformel hat unser Lehrer nie angeschnitten, aber jetzt wo du es sagst kenn ich die. Bin auf diese gestoßen auch bei der suche nach antworten im google.
Aber ich wende sie nie an, weil ich meist mich verrechne und nie auf den grünen komme :/

kA wieso

Unser Lehrer ist eh ein bishen komisch, er erklärt es meist etwas seltsam, nicht zum nachvollziehen. Und genau das brauche ich.

Danke für deine Hilfe, bringt mir sicher den einen oder anderen Punkt Big Laugh

Big Laugh

20.05.2005, 21:58

MrRT

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Mal ne Frage, was für ne Prüfung machst du?

20.05.2005, 22:08

kA

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Ich mach Fachhochschulprüfung (12. Klasse) also nicht Abi.

und du? hast Abi oder?

20.05.2005, 22:45

MrRT

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Ja, und das ist dann wahrscheinlich so was wie BK1 und BK2 oder so.
Naja, auf jeden fall wünsch ich dir dabei viel Erfolg.

20.05.2005, 22:54

kA

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danke
jo kennst dich aus BK stimmt.

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