Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm

20.05.2005, 11:27	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm Hallo! Ich habe folgende Aufgabe: Gibt es ein Skalarprodukt {.,.} auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_\infty = \sqrt{\{x,x\}} \end{eqnarray}$ . (Begründen Sie ihre Antwort) Nach etwas Nachforschung habe ich nun herausgefunden, dass ein Skalarprodukt eine Norm "induziert". Warum ist das so? EDIT Meine erste Frage konnte ich mir mittlerweile selbst beantworten. Ein Skalarprodukt ist ja das Produkt zweier Vektoren und somit Normen: $\begin{eqnarray} <x,x> = \|\|x\|\| \|\|x\|\| = \|\|x\|\|^2 \end{eqnarray}$ Somit folgt ja logischerweise, dass wenn ich ein Skalarprodukt habe, auch dementsprechend eine Norm. Daraus ergibt sich dann auch $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = \sqrt{<x,x>} \end{eqnarray}$ und da alle Normen äquivalent zueinander sind gibt es dementsprechend auch eine Norm mit $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_\infty = \sqrt{<x,x>} \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig?
20.05.2005, 15:16	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \{.,.\}:\left\{\begin{array}{l}\mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R \\ (x,y) \mapsto \{x,y\} \end{array} \right. \end{eqnarray}$ definiert, so ist die durch $\begin{eqnarray} \\|.\\|:\left\{\begin{array}{l}\mathbb R \to \mathbb R \\ x \mapsto \\|x\\|=\sqrt{\{x,x\}} \end{array} \right. \end{eqnarray}$ definierte Funktion eine Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Beispielsweise induziert das gewöhliche Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \{\vec{x},\vec{y}\}:=\sum_{k=1}^n~{x_k y_k} \end{eqnarray}$ die euklidische Norm $\begin{eqnarray} \\|\vec{x}\\|:=\sqrt{\sum_{k=1}^n~{x_k^2} } \end{eqnarray}$ Jedoch wird nicht jede Norm von einem Skalarprodukt induziert, ebenso wie nicht jede Metrik auf einem Vektorraum von einer Norm stammt. Ein Beispiel hierfür ist eben die Maximumsnorm $\begin{eqnarray} \\|\vec{x}\\|_\infty:=\max_{i=1,...,n} \vert x_i \vert \end{eqnarray}$ Denn wäre für jede Norm, die von einem Skalarprodukt induziert wird, gilt die Beziehung $\begin{eqnarray} \{x,y\}=\frac{1}{4}\left (\\|x+y\\|^2-\\|x-y\\|^2 \right ) \end{eqnarray}$ Für diese Spezielle Norm ist aber die durch die rechte Seite definierte Funktion nicht linear. Folglich kann die Norm nicht von einem Skalarprodukt her stammen.

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