Wirkung auf projektiven Raum

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_freeangle_ Auf diesen Beitrag antworten »
Wirkung auf projektiven Raum
Ich stecke gerade bei folgender Aufgabe fest und weiß irgendwie auch nicht so richtig was ich da genau zeigen soll.

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und sei P(V) die Menge aller 1-dimensionalen Unterräume von V, genannt projektiver Raum von V.
Die Wirkung von GL(n,K) auf V induziert eine Wirkung von GL(n,K) auf P(V). Bestimmen Sie den Kern dieser Wirkung.
Hinweis: Zeigen Sie, dass das Problem äquvalent dazu ist, alle invertierbaren Matrizen von zu finden, für die jeder Vektor von V ein Eigenvektor ist.

Ich hab da irgendwie nicht so richtig den Plan von traurig ! Selbst der Hinweis hilft mir nicht weiter. unglücklich

Ich trage nochmal ein wenig von meinem Wissen herbei, denn ich hab jetz schonmal rausbekomme, dasss ein 1-dimensionaler projektiver Raum eine Gerade ist aber das bringt mich auch nicht viel weiter, jetzt weiß ich ja nur dass P(V) eine Gerade ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich identifiziere einmal mit den Automorphismen von . Ist nun ein solcher, so wird in natürlicher Weise eine Abbildung auf induziert, indem man für mit (das soll heißen, daß von erzeugt wird)



setzt. Man hat zu zeigen, daß wohldefiniert ist. Das ist aber klar; denn gilt , so existiert ein Skalar mit . Da ein Homomorphismus ist, folgt , also .

Weiter kann man zeigen, daß bijektiv ist und daß für beliebige Automorphismen von gilt. Ferner verschluckt der Stern einen Skalar : . Und ist die Identität auf , wenn die Identität auf ist. Das kannst du ja zur Übung alles einmal selbst nachzuweisen versuchen.

Und jetzt zum "Kern der Wirkung". Ich halte diese Frage für ziemlich unklar gestellt. Denn gemeint ist wohl nicht der Kern einer Abbildung (die auf definiert ist). Dazu bräuchte man ja auf irgendeine Vektorraumstruktur. Gemeint ist wohl der Kern der Abbildung . Es geht also um die Frage: Für welche Automorphismen von gilt: ?
Nehmen wir solch ein . Dann gilt also für alle . Ist nun ein beliebiges Element von , so folgt:




Es existiert folglich ein Skalar mit .
Jedes ist damit Eigenvektor. Man kann sich überlegen, daß für alle dasselbe ist. Die gesuchten Abbildungen sind also gerade die Streckungen.

Und noch ein Nachtrag zu deiner letzten Bemerkung.
Ein eindimensionaler projektiver Raum ist keine Gerade im üblichen Sinn, sondern eine Gerade, die durch Hinzunahme eines unendlich fernen Punktes zur projektiven Gerade erweitert wird.
_freeangle_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab da nochmal eine Frage. Und zwar was genau die Wirkung bedeutet? Ich kann damit irgendwie in dieser Aufgabe nichts anfangen?!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Automorphismus (du kannst dir alternativ auch eine Matrix vorstellen) wirkt auf den Elementen von . Und die induzierte Abbildung wirkt auf den Elementen von , also auf den eindimensionalen Unterräumen von .

Um ein einfaches Beispiel zu haben, kannst du dir die Elemente von als die Vektoren des zweidimensionalen euklidischen Raumes (auf gut Deutsch: der Zeichenebene) vorstellen und sie gleich mit den Punkten, deren Ortsvektoren sie sind, identifizieren. Und könnte eine Drehung, sagen wir mit dem Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn), darstellen. wirkt nun auf den Elementen von , d.h. dreht jeden Punkt (Vektor) mit um den Ursprung.
Die Elemente von sind die eindimensionalen Unterräume von , hier also die Ursprungsgeraden. Und wirkt nun auf diesen Ursprungsgeraden, dreht also jede Ursprungsgerade um .

Und in einem zweiten Beispiel stellst du dir als eine Streckung mit dem Faktor 3 vor. Jeder Punkt wird also durch vom Ursprung aus mit dem Faktor 3 gestreckt (jeder Vektor ist damit Eigenvektor zum Eigenwert 3). Und entsprechend streckt jede Ursprungsgerade mit dem Faktor 3. Dadurch ändert sich diese aber nicht, d.h. ist auf die Identität.

Und in dieser Aufgabe sollst du praktisch zeigen, daß genau die Streckungen von es sind, deren induzierte Sternabbildungen auf wie die Identität wirken, du sollst also den Kern des -Induzierens bestimmen.

So verstehe ich die unklare Aufgabenstellung jedenfalls.
_freeangle_ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke... Also jetzt hab ich erstmal verstanden was eine Wirkung ist...in unserer Vorlesungen hatten wir das ein wenig kompliziert und unverständlich formuliert.

Also ich hab das jetzt so verstanden, dass du zuerst gezeigt hast, das GL(n,K) ein Automorphismus von V ist und somit auch ein Automorphismus von P(V).

Das zeigst du indem du bijektiviität und eine Identitästabbildung nachweist?

Ist das soweit richtig? Oder habe ich das falsch verstanden?

Wenn ein Automorphismus ist dann müsste wieder abgebildet werden, oder?

Hilfe
_freeangle_ Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach langen überlegen frage ich mich gerade ob ich dass nicht doch falsch verstanden habe. Wozu muss ich denn Nachweisen dass
bijektiv ist? Das versteht dich doch dadurch, dass ein Automorphismus ist und somit muss doch auch ein Automorphismus sein und daraus folgt doch das es bijektiv ist!?

Ich glaub ich hab grad voll ein Brett vorm Kopf!!!
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Weiter kann man zeigen, daß bijektiv ist und daß für beliebige Automorphismen von gilt. Ferner verschluckt der Stern einen Skalar : . Und ist die Identität auf , wenn die Identität auf ist. Das kannst du ja zur Übung alles einmal selbst nachzuweisen versuchen.


Man kann das zeigen, muß es aber für die Belange der Aufgabe nicht. Wichtig ist nur, was ab Und jetzt zum "Kern der Wirkung" ... folgt.

Im übrigen zeige ich nicht, daß die Elemente von Automorphismen sind, sondern diese Menge ist per definitionem die Menge der Automorphismen des Vektorraumes . Wenn dich diese abstrakten Begriffe verwirren, so kannst du ebenso als die Menge aller -reihigen invertierbaren Matrizen über ansehen.

Ich glaube, dir sind und noch nicht klar geworden. ist eine umkehrbare lineare Abbildung auf :



Dagegen ist eine bijektive Abbildung auf :



Vielleicht solltest du dir das Beispiel mit der Drehung oder der Streckung noch einmal durchgehen.
_freeangle_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok ich wusste nicht das GL(n,K) Automorphismen sind. Das wurde bei uns nicht definiert...

Ich weiß aber irgendwie nicht wie ich zeige das surjektiv ist und wie ich zeige dass es eine Identitätsabbildung ist, denn das brauche ich um den Kern von dieser Wirkung zu bestimmen!?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das doch bereits für dich gemacht, ab Und jetzt zum "Kern der Wirkung" ... .
_freeangle_ Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das jetzt so machen, daher dass ich ja weiß, dass meine Abbildung die Identität ist und die Identität immer den Eigentwert 1 hat weiß ich doch eigentlich das ist und somit für jedes x das gleiche und jetzt kann ich auch den Kern bestimmen, denn der oder und das wären ja dann gleich alle x aus V.

Ach nee meine Abbildung ist ja gar nicht die Identität...Aber trotzdem müsste der Kern meiner Wirkung alle x sein oder sehe ich das falsch...?
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