Kreuzableitung

20.05.2005, 21:11

putzi

Kreuzableitung

Hallo ihr Lieben!

Ihr seid meine letzte Hoffnung! Hilfe

Ich habe schon meine sämtlichen Mathe-Bücher gewälzt, aber ich kann nirgends finden, was eine Kreuzableitung ist bzw. wie ich so etwas mache. Kann mir das jemand von euch erklären?
Das wär echt super!!

Verzweifelte Grüße

putzi

20.05.2005, 21:20

_freeangle_

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RE: Kreuzableitung
Hast du denn irgendein Beispiel dafür? Denn eigentlich ist doch eine Kreuzableitung zum ableiten einer reellen Funktion mit mehren Veränderlichen und heißt nur das du zuerst nach der einen Variablen ableitest und danach nach der anderen.

20.05.2005, 23:20

iammrvip

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Hallo

Betrachten wir die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

dann bezeichnet man

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = 0 \end{eqnarray*}$

als Kreuzableitung.

Soweit ich weiß, wird dieser Begriff hauptsächlich in den Wirtschafts- und Finanzwissenschaften verwandt.

21.05.2005, 14:40

brunsi

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antwort
@iammrvip: könntest du das noch ein wenig weitera usführen? ich verstehe davon überhaupt nichts, obwohl ichs eigentlich müsste!!

was bedeuten jeweils die Zähler in diesem Fall??

mfg dennis

21.05.2005, 19:17

iammrvip

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Das ist nur die partielle Ableitung nach x, y (bzw. y, x) in Leibnizschreibweise.

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

hängt von zwei Veränderlichen ab: x und y.

Wir können diese Funktion nun partiell (teilweise) - also immer nach eine Variable - ableiten. Dabei betrachten wir die anderen Variablen als "Konstanten". Um zu kennzeichnen, dass wird partiell ableiten, schreiben wir statt einen $\begin{eqnarray*} \mathrm d \end{eqnarray*}$ , ein "rundes" oder "geschwugenes" d: $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ .

Wir leiten also hier z.B. ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = 0 \end{eqnarray*}$

d.h. erst nach x, danach nach y.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}2x = 0 \end{eqnarray*}$

Leiten wir nach x ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \end{eqnarray*}$

oder zweimal nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = 2 \end{eqnarray*}$

Für diese Ableitungen schreibt man auch kürzer:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = f_x, \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx} \end{eqnarray*}$ usw.

21.05.2005, 20:34

brunsi

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antwort
@iammrvip: und die teilableitungen multiplizieren wir dann mit einander???

21.05.2005, 20:45

Egal

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Nein du machst erst die eine dann die andere.

21.05.2005, 20:56

iammrvip

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Man könnte auch eine Klammer setzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y}2x = 0 \end{eqnarray*}$

wie gesagt, immer schön nach einander ausführen Augenzwinkern

.

Wie hier:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1\int\limits_0^{1-x}\int\limits_0^{1-y-x}xy(1 - x - y)\mathrm dz\mathrm dy\mathrm dx \end{eqnarray*}$

schön von innen nach außen.

21.05.2005, 21:51

brunsi

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antwort
@iammrvip: und was bedeutet die hochgestellte 2 im zähler ?

heißt dass, dass ich die funktion zwei mal ableiten muss?

und wieso setzt du das da gleich null?

ich hab so etwas noch nie gemacht, daher frage ich einfach freu nach "nase", damit ich das auch bald kann!!

22.05.2005, 02:01

iammrvip

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Du kennst doch die Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}, \quad f''(x) = \frac{\mathrm d^2f}{\mathrm dx^2}, \quad f^{(n)}(x) = \frac{\mathrm d^nf}{\mathrm dx^n} \end{eqnarray*}$

hier differenzieren wir auch zweimal, nur, dass wir - weil die Ableitung partiell ist - das runde d verwenden. also:

$\begin{eqnarray*} \partial^2f \end{eqnarray*}$

nun steht im Zähler nach was wir ableiten. Erst nach x, also

$\begin{eqnarray*} \partial x \end{eqnarray*}$

und danach nach y, somit

$\begin{eqnarray*} \partial y \end{eqnarray*}$

und das schreiben wir gleich zusammen:

$\begin{eqnarray*} f_{xy} = \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \end{eqnarray*}$

d.h. wir leiten unsere Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ erst nach x und danach y ab.

Was nach dem "=" steht ist folglich die Ableitung nach xy.

Das hat überhaupt nichts mit gleichsetzen zu tun verwirrt

Wenn

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

ist, dann ist

$\begin{eqnarray*} f_{xy} = \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = 0 \end{eqnarray*}$

denn f nach x abgeleitet ist

$\begin{eqnarray*} f_x = 2x \end{eqnarray*}$

und noch nach nach y abgeleitet ist

$\begin{eqnarray*} f_{xy} = 0 \end{eqnarray*}$

22.05.2005, 11:01

brunsi

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antwort
@iammrvip: achso das kenne ich natürlich.

aber ich dachte man leitet das zuerst nach x ab und dann nach y -jeweils beides separat- und multipliziert das mit einander. Ist aber wie ich sehe nicht so.

Ok vielen dank schon mal dafür.

wenn es sich bei der obigen funktion nun um ein Produkt , also das Additionszeichen durch ein Multiplikationszeichen ersetzt hätte, wie wäre es denn da?

würde da dann auch der wert 0 rauskommen oder würde es so bleiben, wie bei deiner 1.Ableitung??

22.05.2005, 13:33

iammrvip

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
aber ich dachte man leitet das zuerst nach x ab und dann nach y -jeweils beides separat- und multipliziert das mit einander. Ist aber wie ich sehe nicht so.

Dann müsste da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

das würde ja dann ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} = 2y \cdot 2x = 4xy \end{eqnarray*}$

Jedoch habe ich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \end{eqnarray*}$

oder mit Klammer

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \end{eqnarray*}$

Da bedeutet (immer von innen nach außen!) die Differentiation wird erst auf $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ nach x ausgewandt und der ganze entstehende Term wird nochmals nach y abgeleitet.

Zitat:

wenn es sich bei der obigen funktion nun um ein Produkt , also das Additionszeichen durch ein Multiplikationszeichen ersetzt hätte, wie wäre es denn da?
würde da dann auch der wert 0 rauskommen oder würde es so bleiben, wie bei deiner 1.Ableitung??

Das ging nicht, denn

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y} \end{eqnarray*}$

erfordert eine Funktion oder einen Term im direkten Anschluss auf den dieser Operator angewendet werden soll.

Verdeutliche dir nochmal die verschiedenen Schreibweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \end{eqnarray*}$

das besitzt alles die gleiche Bedeutung.

25.11.2011, 17:19

Nils kruse

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Auch 6 jahre später immer noch sehr hilfreich, danke!

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