Eine Gruppe mit genau n Elementen

20.05.2005, 23:36

Siiiima

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Eine Gruppe mit genau n Elementen

Hallo, könnt ihr mir villeicht bei der Lösung der folgenden Aufgabe behilflich sein?

a) Sei $\begin{eqnarray*} G= \{ g_1,g_2,...,g_n\} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit genau n Elementen. Zeigen Sie: Für jedes $\begin{eqnarray*} g \in G~ist~\{ gg_1,gg_2,...,gg_n\}=G \end{eqnarray*}$

b) Es folgt eine Multiplikationstabelle für eine Gruppe G mit den Elementen e,a,b,c. Wie müssen die Leerstellen belegt werden, damit G eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Elemetn e ist?

21.05.2005, 08:12

Leopold

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a)

Zeige mit Hilfe der Gruppenaxiome, daß für $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \varphi_g: \ G \to G \, , \ \ x \mapsto gx \end{eqnarray*}$

injektiv ist. Als Abbildung endlicher Mengen ist sie damit auch surjektiv.

b)

Es gibt bis auf Isomorphie zwei Gruppen der Ordnung 4. Prinzipiell hat man als notwendige Bedingung: In jeder Zeile oder Spalte einer Gruppentafel muß jedes Gruppenelement genau einmal vorkommen. Für weitere Hilfe bräuchte man die angefangene Gruppentafel.

21.05.2005, 09:58

JochenX

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Zitat:

Wie müssen die Leerstellen belegt werden, damit G eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Elemetn e ist

außerdem:
es gilt ea=ae=a, eb=... usf

wegen der kommutativität muss die tabelle außerdem symmetrisch sein

kriegst dus denn jetzt alleine hin?

mfg jochen

22.05.2005, 19:54

Siiiima

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Hallo..aber wie soll ich denn teil a machen wenn wir bis jetzt nicht injektiv und surjektiv besprochen haben???

zu teil b)habe da jetzt so eine tabelle stehen:auf der waagerechten habe ich e a b c und auf der senkechten dazu auch dasselbe als verknüpfung mal zeichen..

ich weiss bei a*a=b b*b=e und c*C=b und wie soll ich die anderen ergänzen???

also multiplikation mit e ist ja klar...

22.05.2005, 20:03

JochenX

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Zitat:

In jeder Zeile oder Spalte einer Gruppentafel muß jedes Gruppenelement genau einmal vorkommen.

satz von Kayley (wie schreibt man den?), schon von leopold gesagt.

damit habe ich mit deinen angaben für b) 20 sekunden gebraucht....

22.05.2005, 20:06

swerbe

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zu (a)
würde die eigenschaft der abgeschlossenheit bei gruppen ausnutzen, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt und auch $\begin{eqnarray*} g_{k} \in G \end{eqnarray*}$ , dann muss auch $\begin{eqnarray*} g \cdot g_{k} \in G \end{eqnarray*}$ gelten.

zu (b)
da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine gruppe mit neutralem element $\begin{eqnarray*} e_{G} \end{eqnarray*}$ ist, kannst du beschränkte! gleichungen aufstellen, um die elemente der multiplikationstafel zu ermitteln....achte jedoch auch die reihenfolge der elemente bei den gleichungen!

gruß swerbe

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22.05.2005, 20:21

Siiiima

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also betreff b erstmal:also alles was ich mit e multipliziere bekomme ich e raus nicht wahr !!!gruppenaxiom!!!.aber da kommt irgenwo in einer zeile 2 mal e raus??.dann muss ich ja die restlichen so belegen ,dass es kommutativ ist ne??

also ich bekkome da folgenede werte...alles mit e multiplizeirt=e....a*a=b,b*b=e,c*c=b,a*c=c*a=a,a*b=b*a=c...so okay?

also mir ist jetzt klar wie ich die tablle ergänzen muss nur in einer zeile tauchen 2 e's das irrietiert mich,weil es muss ja mindestens ein element von G sein?und in der zeile sind 2 mal e a und c und kein b??

edit: Dreifachpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

22.05.2005, 20:38

JochenX

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Zitat:

Original von Siiiima
also mir ist jetzt klar wie ich die tablle ergänzen muss nur in einer zeile tauchen 2 e's das irrietiert mich,weil es muss ja mindestens ein element von G sein?und in der zeile sind 2 mal e a und c und kein b??

das darf ja eben nicht sein.
hast du oben gelesen?
jedes element der gruppe in jeder zeile, spalte GENAU einmal

22.05.2005, 20:42

Siiiima

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jetzt habe ich es aber raus....das war ja sehr leicht...also e*a=a zum beispiel smile

smile

der rest ist mit a*b=c a*c=e b*c=a

dazu ergänzen und bei mir in der tablle tauchen alle buchstaben nur einmal in jeder zeile und spalte smile

smile

??

Zitat:

Original von swerbe
zu (a)
würde die eigenschaft der abgeschlossenheit bei gruppen ausnutzen, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt und auch $\begin{eqnarray*} g_{k} \in G \end{eqnarray*}$ , dann muss auch $\begin{eqnarray*} g \cdot g_{k} \in G \end{eqnarray*}$ gelten.

zu (b)
da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine gruppe mit neutralem element $\begin{eqnarray*} e_{G} \end{eqnarray*}$ ist, kannst du beschränkte! gleichungen aufstellen, um die elemente der multiplikationstafel zu ermitteln....achte jedoch auch die reihenfolge der elemente bei den gleichungen!

gruß swerbe

verständnisproblem muss man a noch weiter beweisen oder reicht das??

soll man da sowas schreiben?? {gg1,...,ggn}={g1,...,gn}

edit: Dreifachpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion und unterlasse solche Pushposts! (MSS)

22.05.2005, 21:27

Tobias

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Das zu (a) skizzierte Vorgehen beweist $\begin{eqnarray*} \{ gg_1, \ldots, gg_n\} \subseteq G \end{eqnarray*}$ . Es fehlt noch die andere Inklusion:
$\begin{eqnarray*} G \subseteq \{ gg_1, \ldots, gg_n\} \end{eqnarray*}$

Hier kannst du einen Widerspruchsbeweis versuchen. Nimm an die Inklusion gelte nicht, dann gibt es ein Element $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ , für das gilt: $\begin{eqnarray*} gg_k \neq x \; \forall k \end{eqnarray*}$ .

Dann muss es aber verschiedene Indizes i und j geben, sodass $\begin{eqnarray*} gg_i = gg_j \end{eqnarray*}$ (d.h. die Menge $\begin{eqnarray*} \{ gg_1, \ldots, gg_n\} \end{eqnarray*}$ hat dann keine Mächtigkeit von n.

22.05.2005, 21:29

Siiiima

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wie beweise ich dann mein widerspruch?????

22.05.2005, 21:32

Tobias

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Na geh von $\begin{eqnarray*} gg_i = gg_j \end{eqnarray*}$ aus. Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} g_i \neq g_j \end{eqnarray*}$ ....

22.05.2005, 21:46

Siiiima

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ich verstehe dich leider nicht..gibt es kein enderes beweis...wo man zeigen kann bezüglich der multiplikation

22.05.2005, 22:34

Tobias

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Leopold hatte das, was ich dir jetzt so versucht habe zu vermitteln mit seiner injektiven Funktion gemeint. Wenn es zwei verschiedene Elemente $\begin{eqnarray*} g_i, g_j \in G \end{eqnarray*}$ gibt, die zu einem beliebigen $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ dasselbe Ergebnis liefern $\begin{eqnarray*} gg_i = gg_j \end{eqnarray*}$ , dann gilt die Behauptung $\begin{eqnarray*} G \subseteq \{g_1, \ldots, g_n \} \end{eqnarray*}$ nicht.

$\begin{eqnarray*} gg_i = gg_j \end{eqnarray*}$
Zu g existiert aufgrund der Gruppenaxiome ein Inverses $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das Inverse wenden wir rechts und links an:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}gg_i =g^{-1}gg_j \quad \iff \quad g_i = g_j \end{eqnarray*}$

Da wir aber $\begin{eqnarray*} g_i \neq g_j \end{eqnarray*}$ angenommen haben, ist dies ein Widerspruch.

22.05.2005, 22:37

Siiiima

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verstehe den zusammenhang.damit ist dies gezeigt ne??

22.05.2005, 22:44

JochenX

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Zitat:

Original von Tobias
Das zu (a) skizzierte Vorgehen beweist $\begin{eqnarray*} \{ gg_1, \ldots, gg_n\} \subseteq G \end{eqnarray*}$ . Es fehlt noch die andere Inklusion:
$\begin{eqnarray*} G \subseteq \{ gg_1, \ldots, gg_n\} \end{eqnarray*}$

wieso eigentlich so umständlich mit widerspruch?
wähle direkt ein beliebiges x aus G und zeige, dass ein y aus G existiert mit gy=x.

sei $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} g(g^{-1}x)=x \end{eqnarray*}$ , mit g^(-1)x aus G, da g Gruppe.
damit ist die aussage schon bewiesen......

Einwände?

22.05.2005, 22:48

Tobias

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Genau. Ich fasse nochmal zusammen:

Wenn $\begin{eqnarray*} M := \{ gg_1, \ldots, gg_n \} \end{eqnarray*}$ dann sollst du beweisen:

$\begin{eqnarray*} G = M \end{eqnarray*}$

Wir zeigen das nun durch: $\begin{eqnarray*} M \subseteq G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |G| = |M| = n \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} M \subseteq G \end{eqnarray*}$ durch die Abgeschlossenheit der Verknüpfung erfüllt ist, lässt sich nur noch der Widerspruch durch $\begin{eqnarray*} |M| < |G| = n \end{eqnarray*}$ erreichen. Dafür muss ein Element unter den n aufgelisteten in M doppelt sein. Dies führt zu einem Widerspruch. Also gilt $\begin{eqnarray*} |M| = n \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} M = G \end{eqnarray*}$ .

22.05.2005, 22:51

Siiiima

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versteehe..aber die andere inklusin halt die erste habe ich auch noch nict die muss ich ja zeigen geht das auch so ähnlich

22.05.2005, 22:54

Tobias

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$\begin{eqnarray*} M \subseteq G \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus der Abgeschlossenheit der Verknüpfung:

$\begin{eqnarray*} g, g_k \in G \quad \Rightarrow \quad gg_k \in G \end{eqnarray*}$

22.05.2005, 22:58

Siiiima

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okay..was ist denn mit LOed s Aussage es scheint ja kürzer zu sein???

war die aussage bezogen auf das ganze oder nur ein tei??weil das ziemlich kurz warl

22.05.2005, 23:20

JochenX

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hallo Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiima,
den Inhalt deiner PN verstehe ich nicht, also die Anfrage ist nicht gerade toll asformuliert. verwirrt

verwirrt

mein Beweis zeigt $\begin{eqnarray*} G \subseteq M \end{eqnarray*}$ , mehr nicht (aber die andere Inklusion ist, wie Tobias korrekt anmerkt trivial).

22.05.2005, 23:26

Siiiima

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ja und weil es trivial ist soll man dies nicht zeigen also brauch man das nicht oder???

22.05.2005, 23:29

Tobias

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Axiome kann man nicht beweisen/zeigen. Die gelten einfach.

22.05.2005, 23:30

Siiiima

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okay danke smile

smile

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