Integration

21.05.2005, 15:42	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Hallo, ich soll für ein Übungsbeispiel: $\begin{eqnarray} Tan[x]/Cos^2[x] \end{eqnarray}$ berechnen, jetzt habe ich Tan durch $\begin{eqnarray} Sin[x]/Cos[x] \end{eqnarray}$ ersetzt, dann habe ich $\begin{eqnarray} Sin[x]/Cos^3[x] \end{eqnarray}$ nun habe ich laut Formel im Buch $\begin{eqnarray} t=Tan[x/2] \end{eqnarray}$ ersetzt und bin auf $\begin{eqnarray} 4t(1+t^2)/(1-t^2)^3 \end{eqnarray}$ gekommen, nun u=t^2 substituiert aber jetz habe ich einen Ausdruck, wo ich nicht mehr weiterkomme. Bin nun bei $\begin{eqnarray} 2(1+u)/(1-u)^3 \end{eqnarray*}$ und komme nicht mehr weiter
21.05.2005, 15:53	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
hat sich erledigt, habe für 1-u=v substituiert und dann gehts, sry hatte zu schnell resigniert
21.05.2005, 16:15	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
hier hätte sich aber auch die Substitution t=cos(x) angeboten
21.05.2005, 17:09	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, bin ich blind... andere Frage: ich soll noch ln(sin(x)) zwischen den granzen 0 und pi/2 integrieren, mathematica wirft da einen ganz üblen ausdruck für das unbestimmte integral aus, mit sachen, die ich noch nie gesehen habe. zwischen den granzen jedoch wieder ein schönes ergebnis. kann es sein, dass es da einen trick gibt, so daß ich das unbestimmte integral gar nicht ausrechnen muß?
21.05.2005, 17:45	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
antwort was wift das denn aus?
21.05.2005, 17:48	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
-x Log[1-e^2ix]+xLog[Sin[x]]+1/2i(x^2+Polylog[2,e^2ix])
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22.05.2005, 11:21	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meint Mathematica genuau mit Polylog(...)? Und wie wärs sonst allgemein mit einer Substitution und anschliessender Produkteintegration?
22.05.2005, 12:31	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sich das unbestimmte Integral nicht durch elemetare Funktionen darstellen lässt (siehe das Ergebnis von Mathematica), könnte man einmal folgende Möglichkeit durchrechnen: $\begin{eqnarray} J=\int_0^{\pi /2}\ln(\sin(x)) dx = \int_0^{\pi /2}\ln(2\sin(x/2)\cos(x/2)) dx \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} J= \int_0^{\pi /2}(\ln(2) +\ln(\sin(x/2))+\ln(\sin(\pi /2-x/2)) dx \end{eqnarray}$ , oder auch $\begin{eqnarray} J= \frac{\pi}{2}\ln(2) +\int_0^{\pi /2} \ln(\sin(x/2)) dx+\int_0^{\pi /2} \ln(\sin(\pi /2-x/2)) dx \end{eqnarray}$ , und nach Substitution x/2=t und pi/2-x/2=t $\begin{eqnarray} J= \frac{\pi}{2}\ln(2) +\int_0^{\pi /4} 2\ln(\sin(t)) dt+\int_{\pi /2}^{\pi /4} -2\ln(\sin(t)) dt \end{eqnarray}$ oder so ähnlich, Fehler sind nicht ausgeschlossen. Wahrscheinlich ist es möglich (sieht zumindest fast so aus), die bestimmten Integrale geeignet zusammenzufassen und eine geschlossene Darstellung zu erhalten. EDIT: ich sehe gerade, es ist einfacher, als ich dachte Es sei zur Abkürzung gesetzt $\begin{eqnarray} J = J(\pi /2) = \int_0^{\pi /2}\ln(\sin(x)) dx \end{eqnarray}$ , dann lässt sich die letzte Zeile auch schreiben: $\begin{eqnarray} J= J(\pi /2) = \frac{\pi}{2}\ln(2) + 2 \cdot J(\pi /4) - 2 \cdot (J(\pi /4) - J(\pi /2)) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 0 = \frac{\pi}{2}\ln(2) + J(\pi /2) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi /2}\ln(\sin(x)) dx = -\frac{\pi}{2}\ln(2) \end{eqnarray}$
22.05.2005, 17:03	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
danke sehr, darauf wäre ich nie gekommen...

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