Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen

07.01.2008, 15:02

tim taler

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Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen

Hallo zusammen,

habe gerade folgendes Beispiel berechnet, jedoch tue ich mir noch schwer mit der Zuordnung.

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2+x_3=0\\ -2ax_1+ax_2+9x_3=6 \\ 2x_1+2x_2+ax_3=1 \end{eqnarray*}$

zu a)

Ein Gleichungssytem ist unlösbar wenn der Rang der Koeffizientenmatrix nicht mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimt...

also habe ich erstmal die beiden Matrizen dargestellt und mit dem Gauß vereinfacht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2a & a & 9 \\ 2 & 2 & 1a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nach vereinfachen komme ich zu folgender Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2a^2-3a-9=0 \\ \Rightarrow x_{1,2}= 3;-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

was sagen diese beiden Werte jetzt aber über die Lösbarkeit oder Unlösbarkeit?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 |0\\ -2a & a & 9 |6 \\ 2& 2 & a |1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nach vereinfachen erhalte ich hier

$\begin{eqnarray*} 2a^2-5a-3=0 \\ x_{1,2}= 3;-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
zu b)

Lösbar ist es folglich dann wenn die Ränge der beiden angesprochen Matrizen gleich sind. Nicht eindeutig lösbar immer dann wenn die Anzahl der Variablen größer als der Rang.

zu c)
Lösbar... siehe b)
Eindeutig lösbar genau dann wenn der Rang gleiche der Anzahl der Variablen.

Wie kann ich jetzt das Ganze so verbinden das es passt?

Gruss, tt

07.01.2008, 15:10

klarsoweit

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen

Zitat:

Original von tim taler
also habe ich erstmal die beiden Matrizen dargestellt und mit dem Gauß vereinfacht

Es reicht vollkommen, wenn du nur die erweitere Matrix umformst.

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 |0\\ -2a & a & 9 |6 \\ 2& 2 & a |1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nach vereinfachen erhalte ich hier

$\begin{eqnarray*} 2a^2-5a-3=0 \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn die Matrix nach der Umformung aus?

07.01.2008, 15:13

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
die sieht so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 |0 \\ 0 & 2a & 9+a |6 \\ 0 & 0 & 2a^2-3a-9 |2a-6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.01.2008, 15:29

klarsoweit

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
OK. Wann hat die Matrix maximalen Rang und ist damit eindeutig lösbar?

07.01.2008, 15:31

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
wenn a ungleich 3 ist !?

07.01.2008, 15:50

klarsoweit

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
Stimmt zur Häfte. a ungleich -3/2 fehlt da. Außerhalb dieser beiden Werte hat die Matrix Rang 3 und ist damit invertierbar. Jetzt mußt du noch diese beiden Ausnahmen untersuchen.

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07.01.2008, 16:44

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
ok wenn a also gleich 3 ist dann wird der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl ihrer Variablen, somit ist das GS nicht eindeutig lösbar...

Aber was ist mit der -3/2??

07.01.2008, 17:50

klarsoweit

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen

Zitat:

Original von tim taler
ok wenn a also gleich 3 ist dann wird der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl ihrer Variablen, somit ist das GS nicht eindeutig lösbar...

Vor allem ist da der Rang der nicht erweiterten Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Dies ist die Bedingung für Lösbarkeit. Für a = -3/2 ist das nicht der Fall. Also ist in diesem Fall das GLS ... .

07.01.2008, 19:02

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
ok Danke für die Hilfe. Ich rechne das nun mal mit -3/2 halbe durch und schau was passiert. Eigentlich müßte ja ne Null in der Hauptdiagonale auftauchen sodass die Matrix den Rang 2 bekommt, jedoch dürfte keine ganze Nullzeile entstehen wie zuvor, da ja dann der Rang der erweiterten Matrix auch 2 werden würde. also muss ich ne Null in der Hauptdiagonalen erzeugen und weiterhin 3 lin. unabhängige Gleichungen haben, dann müßte es passen...

08.01.2008, 08:37

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
Mit der Hauptdiagonalen hat das nichts zu tun. Es geht einzig und allein um den Rang und das ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen, nachdem die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht ist.

08.01.2008, 11:05

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
Ist der Rang nicht die Anzal der Nichtnullzeilen auf der Hauptdiagonalen nachdem das Nulldreieck erstellt wurde?

08.01.2008, 11:19

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
Komische Definition. verwirrt

verwirrt

Was wäre denn nach deiner Meinung der Rang folgender Matrizen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2008, 11:32

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
Matrix A hat den Rang 1.
Matrix B ebenso, mann muss nur Zeile 1 mit 2 vertauschen.
Matrix C hat nach der elementaren Umformung den Rang 2. Tausche 2 mit 3.
Matrix D und E haben wiederum den Rang 1.

Gut?

08.01.2008, 11:49

klarsoweit

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen

Zitat:

Original von tim taler
Matrix B ebenso, mann muss nur Zeile 1 mit 2 vertauschen.

Die Ergebnisse stimmen, nur den Sinn dieser Vertauschung sehe ich nicht. Dann wäre die Matrix nicht mehr in Zeilenstufenform. Vielleicht hast du eine andere "Zählregel", die letztlich das gleiche Ergebnis liefert, dann müßtest du aber mal genauer erläutern, was mit "Anzahl der Nichtnullzeilen auf der Hauptdiagonalen" gemeint ist.

08.01.2008, 11:58

tim taler

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
ich versuche die Matrizen mit Gauß immer soweit zu vereinfachen das ich Trapezgestalt erhalte. Oder in Deinen Beispielen durch elementares Umformen.
Versuche quasi die Matrix so umzuformen, das da wo möglich ein Nichtnullelement auf der Hautdiaginaloen steht, dann erst sehe ich den Rang. Wahrscheinlich machst Du es unkomplizierter wie ich Dich kenne :-)

08.01.2008, 12:47

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RE: Lösen eines GS in Abhängigkeit einer Variablen
Ob dein oder mein Verfahren komplizierter oder unkomplizierter ist, ist eine Frage der Gewöhnung. Ich forme jedenfalls auf Zeilenstufenform um. Das heißt: reine Nullzeilen kommen nach unten. Die Nicht-Null-Zeilen werden so sortiert, daß unter dem ersten Nicht-Null-Element jeder Zeile nur Nullen stehen. Sollte dies nicht möglich sein, kann man durch Zeilenumformung in einer Zeile an der entsprechenden Stelle eine Null erzeugen. Im diesen Sinne waren meine Beispiele alle schon auf Zeilenstufenform.

Ob dein Verfahren sich genauso einfach beschreiben läßt, weiß ich nicht. Jedenfalls bringst du die Matrix auf eine bestimmte Form, wo die Anzahl der Nicht-Null-Elemente auf der Hauptdiagonalen, (nicht die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen auf der Hauptdiagonalen, eine Hauptdiagonale hat schließlich keine Zeilen) den Rang angibt. Jedenfallls habe ich dein Verfahren in der Algebra bislang noch nicht angetroffen.

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