Endomorphismus+Fahne

22.05.2005, 11:33

Gast24

Endomorphismus+Fahne

Hallöchen...
Also, irgendwie sind wir in unserer Vorlesung etwas hinter her.
Haben aber nun schon folgende Übunsgaufgabe bekommen:

Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus f eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes genau dann trigonalisierbar ist, wenn es in V eine Fahne

$\begin{eqnarray*} \{ 0\} C [U]_{1} C [U]_{2} ... C [U]_{n-1} C [U]_{n} = V von Unterräumen [U]_{i} C V, dim [U]_{i} = i, f ( [U]_{i} C [U]_{i} gibt für 1 \leq i n \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist hier nicht nur die Aufgabenstellung sondern, auch dass ich noch keinerlei Informationen zum Thema Fahne habe.
Wäre lieb wenn mir jemand weiterhelfen könnte...

22.05.2005, 13:45

JochenX

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RE: Endomorphismus+Fahne
a) sehe ich da noch eine fetten tex-fehler, bin abe auch übefragt, was das problem ist
auf jeden fall ist da nur ein weißer fehlermeldungskasten
bitte mal korrigieren verwirrt

b) fahne kenne ich in der hinsicht auch nicht, das sieht eher nach irgendeiner sequenz aus....

22.05.2005, 14:03

Tobias

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RE: Endomorphismus+Fahne
Hier mal die korrigierte Version:

Zitat:

Original von Gast24

Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus f eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes genau dann trigonalisierbar ist, wenn es in V eine Fahne

$\begin{eqnarray*} \{ 0 \} \subset [U]_{1} \subset [U]_{2} \ldots \subset [U]_{n-1} \subset [U]_{n} = V \text{ von Unterräumen } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [U]_{i} \subset V, \; dim [U]_{i} = i, \; f ( [U]_{i}) \subset [U]_{i} \text{ gibt für } 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$

Von Fahne habe ich allerdings auch noch nichts gehört. Ich vermute wie Loads, dass es sich um diese Unterraum-Kette handelt in der jede Unterraum-Menge eine Dimension größer wird.

22.05.2005, 16:16

Anirahtak

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Hallo,

Zur Definition einer Fahne:
Sei V ein Vektorraum mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{dim}(V)=n\leq1 \end{eqnarray*}$ , so heißt eine Folge $\begin{eqnarray*} V_0\subset V_1 \subset \ldots\subset V_n \end{eqnarray*}$ von Unterräumen eine Fahne, wenn $\begin{eqnarray*} \mathrm{dim}(V_i)=i \ \ \ \forall 0\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis der Aussage - Rückrichtung.
Du hast also diese Fahne gegeben. Sei $\begin{eqnarray*} \{b_1,\ldots b_i\} \end{eqnarray*}$ Basis von U_i für alle i. Dann betrachte mal die darstellende Matrix von f bzgl dieser Basis und beachte dabei, dass du die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(U_i)\subset U_i \end{eqnarray*}$ noch gegeben hast.

Klappts?

Gruß
Anirahtak

23.05.2005, 06:42

Gast24

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Danke schon mal...
Werd das heut mal mit der gegebenen Definition ausprobieren und mich dann wieder melden.
Wünsch euch allen eine erfolgreiche Woche!!!

23.05.2005, 10:06

pfnuesel

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Übrigens: Gerd Fischer behandelt in "Lineare Algebra" solche Fahnen. Falls du das Buch ja hast, kannst du dort mal nachschlagen.

27.05.2005, 10:43

Gast 24

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Hallöchen...
Sorry, aber irgendwie komme ich immer noch nicht klar mit dieser Aufgabe. Ich hatte gehoft, dass wir noch was in unserer Vorlesung zum Thema hören, aber leider war das nicht der Fall.

Mit der Rückrichtung hab ich mich nun schon etwas mehr beschäftigt, wobei ich auch hier noch ziemlich auf dem Schlauch stehe.
Doch bei der anderen Richtung weiß ich nun gar nix,
geht das mit vollständiger Induktion???

Hab den Fischer und hab auch drin gelesen, doch was da steht ist nicht sonderlich ergibig. Vielleicht kann mir ja nochmal jemand auf die Sprünge helfen.

Danke

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