Quadrik auf Normalform bringen

22.05.2005, 11:34	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrik auf Normalform bringen Hallo zusammen, ich habe folgende Quadrik im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} -x_{1}^2-x_{2}^2-x_{3}^2+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}=2 \end{eqnarray}$ . Diese soll ich in Normalform bringen. Aus dem Skript wird mir das leider nicht so klar. Wie mache ich denn das? Danke im Voraus, Stefan P.S.: Der Autor bittet auch um freundliche Beachtung des Threads "Unitäre Matrix bestimmen" im Algebra-Forum.
22.05.2005, 23:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Hilfe der symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und der Spalte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \, , \ \ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man die quadratische Form $\begin{eqnarray} Q(x) = x'Sx \end{eqnarray}$ definieren (wobei der Strich für das Transponieren stehe). Die vorgegebene Quadrik ist also $\begin{eqnarray} Q(x) = 2 \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ legen nun den Typ der Quadrik fest. Man findet $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ (zweifach) und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ (einfach) als Eigenwerte. Aus den zugehörigen Eigenräumen kann man eine Orthonormalbasis gewinnen, so daß, wenn $\begin{eqnarray} \xi_1,\xi_2,\xi_3 \end{eqnarray}$ die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser Basis sind, die Quadrik die Normalform $\begin{eqnarray} -2 \xi_1^2 - 2 \xi_2^2 + \xi_3^2 = 2 \end{eqnarray}$ besitzt. Die Quadrik ist also ein zweischaliges Hyperboloid. Eine positiv orientierte Orthonormalbasis ist etwa $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \sqrt{\frac{1}{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \, , \ \sqrt{\frac{1}{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
23.05.2005, 07:43	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank. Du hast dir ja richtig Mühe gegeben. Find' ich wirklich klasse! Allerdings hätte ich noch eine Frage, wie kommt man den auf die Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ? Klar, wenn ich $\begin{eqnarray} x^{t}Sx \end{eqnarray}$ berechne, komme ich auf meine gegebene Quadrik, aber wie sehe ich den andersrum, welche Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ berechne? Sowas sollte ja eigentlich nicht vom Himmel fallen, oder doch? Danke im Voraus, Stefan
23.05.2005, 08:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Q(x_1,x_2,x_3) = s_{11} x_1^2 + s_{22} x_2^2 + s_{33} x_3^2 + 2 s_{12} x_1 x_2 + 2 s_{13} x_1 x_3 + 2 s_{23} x_2 x_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \longrightarrow \ \ S = \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ s_{12} & s_{22} & s_{23} \\ s_{13} & s_{23} & s_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
23.05.2005, 19:41	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, jetzt ist bei der Besprechung in der Übungsgruppe nur noch eine kleine Frage aufgetaucht, nämlich, wieso die Eigenvektoren berechnet werden müssen, genauer, ob diese berechnet werden müssen, um zu zeigen, dass ich wirklich die Normalform so schreiben kann, oder ob ich sie an sich brauche. Und ob diese in Verbindung mit der Normalenform stehen (oder gehe ich hier von meiner "normalen" Basis aus der Schulmathematik [sprich (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)] aus)? Wäre wirklich nett, wenn mir jemand auch diese Fragen noch beantworten könnte. Gruß, Stefan
23.05.2005, 22:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ als Koordinaten in einem handelsüblichen kartesischen Koordinatensystem auffaßt, dann wird durch die Gleichung $\begin{eqnarray} -x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 +2x_2x_3 = 2 \end{eqnarray}$ eine Fläche im dreidimensionalen Raum beschrieben. Man bezieht sich also auf das durch $\begin{eqnarray} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray}$ vorgegebene Koordinatensystem. Durch Übergang zu der neuen Basis $\begin{eqnarray} e_1', e_2', e_3' \end{eqnarray}$ (das sind die drei Vektoren, die ich angegeben habe) bekommt die Gleichung die "schönere" Form (weil ohne gemischte Glieder) $\begin{eqnarray} -2\xi_1^2 - 2\xi_2^2 + \xi_3^2 = 2 \end{eqnarray}$ Und in der Zeichnung aus meinem vorigen Beitrag zeigt die $\begin{eqnarray} e_1' \end{eqnarray}$ -Achse nach vorne rechts, die $\begin{eqnarray} e_2' \end{eqnarray}$ -Achse nach hinten rechts und die $\begin{eqnarray} e_3' \end{eqnarray}$ -Achse nach oben. Ich beziehe mich hier also schon auf das neue Koordinatensystem.
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