Nacheinanderausführung |
| 22.05.2005, 15:44 | Ingmar | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Nacheinanderausführung Ich wär für etwas Hilfe zu einer Mathe-Übung (LinA, 1. Semster) dankbar. Die Aufgabe ist zu ziegen dass: a) aus der injektivität einer Nacheinanderausführung f°g die injektivität von g folgt und b) aus der surjektivität einer Nacheinanderausführung f°g die surjektivität von f folgt. Ich verstehe die Aufgabe und habe mir auch schon einige Zeit den Kopf darüber zerbrochen. Intuitiv ist mir das schon klar, aber ich fürchte damit wird mein Professor nicht zufrieden sein. Hat vielleicht jemand einen Tip mit welcher Eigenschaft der Nacheinanderausführung man da ansetzen sollte? Danke im Voraus, Ingmar. |
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| 22.05.2005, 15:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
schreib doch mal rein, was die einzelnen begriffe bedeuten und was du dir bislang gedacht hast! |
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| 22.05.2005, 16:09 | Ingmar | Auf diesen Beitrag antworten » |
gerne... also, erstmal zur a) Injektivität liegt vor wenn aus f(v)=f(v') folgt v=v'. Für die Nacheinandersführung heißt das dann aus (f°g)(v) = (f°g)(v') folgt v=v' und zu zeigen ist: aus g(v)=g(v') folgt v=v' Die Komposition ist linear, demnach liegt der Nullvektor im Kern. (f°g)(0)=0=f(g(0))=f(g(v-v')) Sowiet kann ich mir nützliche Sachen überlegen, aber das hauptproblem, wie ich g(v) aus f() herausbekomme bleibt... dazu fällt mir echt nix ein. und zur b) Surjektivität bedeutet, das zu jedem Wert aus der Menge auf die Abgebildet wird mindestens ein Urbild existiert. Die surjektivität von f folgt aus der Surjektivität von f°g dann, wenn g surjektiv ist, und auf den Definitionsbereich von f abbildet, wenn ich das richtig verstehe. Evtl. kann man die surjektivität von g ähnlich beweisen wie die injektivität.. ?? |
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| 22.05.2005, 18:35 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
mal der reihe nach: also nimm doch einfach mal an, g wäre nicht injektiv seien also g(u)=g(v), aber u<>v; was gilt denn für f(g(u))? f(g(v))? |
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| 22.05.2005, 21:29 | Ingmar | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmmm, okay, der beweis für die injektivität ist mir jetzt klar, für die Nachwelt schreib ich ihn nochmal auf: u beliebig, v so dass g(u)=g(v) => f(g(u)) = f(g(v)), da f eine lineare abbildung ist => (f°g)(u)=(f°g)(v) (f°g) ist aber injektiv nach voraussetzung und deswegen u=v q.e.d für die b) sind meine gedanken auch etwas konkreter geworden: (f°g) surjektiv bedeutet: für jedes u gibt es mindestens ein v mit (f°g)(v)=u=f(g(v)) sei g(v) W und f: W->U dann gibt es für jedes u ein w mit f(w)=u => f ist surjektiv Hierbei bin ich aber noch am überlegen, ob man nicht noch zeigen müsste das g(v) jeden Wert aus W annimmt, mir ist nämlich nicht ganz klar, warum das so ist, dazu müsste g() doch erstmal surjektiv sein, oder? |
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| 22.05.2005, 22:08 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
was sind denn plötzlich W und U? die hast du oben noch gar nicht definiert... geht g von einer menge V nach W, und f von W nach U? deinen ansatz verstehe ich nicht ganz.... muss ich zugeben..... nimm ein beliebiges element aus dem Zielraum von f (U?) und zeige, dass es ein Urbild im zielraum von g (W?) hat. |
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