Konkrete Verständnisfrage: Halbgruppen,Gruppen - Unterstruktur

07.01.2008, 18:43

Angelina

Konkrete Verständnisfrage: Halbgruppen,Gruppen - Unterstruktur

Hallo. In meinem Script gibt es folgenden Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} (G , \cdot) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe. Ist G endlich, so heißt |G| die Ordnung von G .
Ist a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G und existiert ein n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^n= e \end{eqnarray*}$ , so heißt das kleinste solche n die Ordnung von a .
Ist n die Ordnung von a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G , so ist <a>G = { a, $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ,…, $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ = e } = <a>H , insbesondere ist $\begin{eqnarray*} a^{-1} = a^{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Die Ordnung von a ist also gleichzeitig die Ordnung von <a> .

- Wie kann $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ = e sein? Kann es doch nur wenn a=e ist, oder?
Oder ist nicht das neutrale Element gemeint?

- Was eine Unterstruktur an sich ist - die Definition kenne ich:
Wenn ich zB einen Monoid habe und davon eine Teilmenge nehme mit dem selben
neutralen Element und wenn diese Struktur wieder Monoid ist, dann ist es ein
Untermonoid. (bei Halbgruppe nur gefordert, dass Unterstruktur selber auch
Halbgruppe ist und bei der Gruppe muss auch das selbe(!) neutrale Element
vorhanden sein, wie bei dem Monoid oder? -und zusätzich die Gruppenbedingungen
erfüllt sein.)

- Geht es hier um den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Struktur und ihrer Unterstruktur? Sehe ich das zu kompliziert und ist der Sinn des Satzes ganz einfach?

Ich bin recht schwer von Begriff und würde mich sehr über eine vereinfachte Erläuterung freuen. Vielen Dank schonmal.
Gott

07.01.2008, 18:51

Leopold

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Kennst du komplexe Zahlen? Falls ja, dann betrachte einmal die Gruppe

$\begin{eqnarray*} G = \left\{ 1 , \operatorname{i} , -1 , - \operatorname{i} \right\} \end{eqnarray*}$

mit der komplexen Multiplikation als Operation. Wie sieht es da z.B. mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^4 \end{eqnarray*}$ aus?

07.01.2008, 18:58

Angelina

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Hm. Das wird dann wohl i oder 1 sein.

Dann gibt es bei mir in a dann auch nur das neutrale Element?

Das wars dann? Und das ist dann der (minimale) Beweis dafür das die Ordnung der Struktur und ihrer Unterstruktur zusammenhängen?

07.01.2008, 19:01

Leopold

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Zitat:

Original von Angelina
Hm. Das wird dann wohl i oder 1 sein.

Und was ist es nun?

Zitat:

Original von Angelina
Dann gibt es bei mir in a dann auch nur das neutrale Element?

Der Sinn dieses Satzes erschließt sich mir nicht.

07.01.2008, 19:18

Angelina

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Also mein Fazit war: wenn $\begin{eqnarray*} a^n=e \end{eqnarray*}$ ist, dann kann die Menge nur aus dem neutralen Element bestehen.

bei deinem Beispiel gibt es ja auch nur {-1,-i,1,i} also kann es nur etwas aus dieser Menge sein.

Ich kann mir gerade selbst kaum folgen. Ich muss mal versuchen analog jemanden zu finden, der mir den Satz aus meinem Script mal auseinandernimmt.

Danke für deine Hilfe. Dummerweise habe ich bis morgen Nachmittag keine Möglichkeit mehr online zu gehen. Vielleicht geht mir bis dahin ja ein Licht auf.
Und entschuldige falls ich dich irritiert habe.

07.01.2008, 19:27

Leopold

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Und warum sagst du nicht einfach, was $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^4 \end{eqnarray*}$ ist? Und wenn du es nicht weißt, dann geht die Welt nicht unter - aber auch das mußt du mitteilen.

Zitat:
Also mein Fazit war: wenn $\begin{eqnarray*} a^n = e \end{eqnarray*}$ ist, dann kann die Menge nur aus dem neutralen Element bestehen.

Und das ist falsch!

07.01.2008, 19:35

Angelina

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Ich würde raten, dass i^4 = i ist. Weil: egal ob i*i*i*i oder -i*-i*-i*-i käme doch i raus.

Komplexe Zahlen kann ich leider nicht anwenden.
Entschuldige bitte, aber ich hatte nicht mit so vielen Gegenfragen gerechnet.

07.01.2008, 19:39

Leopold

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Zitat:

Original von Angelina
Komplexe Zahlen kann ich leider nicht anwenden.

Und warum sagst du das nicht gleich? Dann machen wir ein noch einfacheres Beispiel: Betrachte die folgende Gruppe, die nur aus den zwei reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ besteht, unter der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Was ist denn da mit $\begin{eqnarray*} (-1)^2 \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2008, 19:41

Angelina

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Nachtrag: Sind die komplexen Zahlen nicht immer zwei Zahlen?
Realteil und Imaginärteil?

Was wäre bei dir bei G={-1,-i,-1,i} das neutrale Element?
Hast du da Klammern vergessen?

07.01.2008, 19:44

Angelina

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Also (-1)^2 ist 1 (das neutrale Element) also ist die Ordnung von (-1) dann 2.

danke.

07.01.2008, 19:52

Leopold

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Genau: Die Ordnung von $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ ist 2. Aber obwohl $\begin{eqnarray*} a^2 = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Merkst du deinen Trugschluß?

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