Martingal

07.01.2008, 18:50

Sunwater

Martingal

Hi...

ich versuche gerade den Beweis von Doob's Stopzeiten Prinzip zu verstehen ( habs nur auf Englisch - da heißt das Stopping-time Principle - STP ).
An einer Stelle kann ich aber die Gleichheit nicht nachvollziehen...

Sei $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Stoppzeit und $\begin{eqnarray*} X = (X_n) \end{eqnarray*}$ ein Martingal. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} E(X_{\tau}) = E(X_0) \end{eqnarray*}$

ok - der Beweis fängt so an:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ die natürliche Zahl, so dass $\begin{eqnarray*} \tau(\omega) \leq K \end{eqnarray*}$ für alle Omega

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} E(X_{\tau}) = E \left( \sum_{k=0}^K X_k 1_{\{\tau=k\}} \right) = \sum_{k=0}^K E( X_k 1_{\{\tau=k\}}) = \sum_{k=0}^K E(E(X_K|F_k)1_{\{\tau=k\}}) = \sum_{k=0}^K E(X_K 1_{\{\tau=k\}}) = E \left( X_K \sum_{k=0}^K 1_{\{\tau=k\}} \right) = E(X_K) \stackrel{?}= E(X_0) \end{eqnarray*}$

bei dem Fragezeichen verstehe ich nicht, warum diese Gleichheit gilt?

07.01.2008, 19:11

Dual Space

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RE: Martingal
Hat hier $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ eine besondere Bedeutung?

07.01.2008, 21:14

Sunwater

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$\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ ist sozusagen der Ausgangspunkt des Martingals... - also $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ im Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

08.01.2008, 18:43

Gnu

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Folgt daraus, dass X ein Martingal ist:

$\begin{eqnarray*} E[X_1] = E[E[X_1|F_0]] = E[X_0] \end{eqnarray*}$
Das ganze kann man nun per Induktion hochziehen, das K macht keine Probleme da es deterministisch ist.

08.01.2008, 21:50

Sunwater

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ah - das macht sinn - alles klar, danke!

09.01.2008, 07:19

Dual Space

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Zitat:

Original von Gnu
$\begin{eqnarray*} E[X_1] = E[E[X_1|F_0]] = E[X_0] \end{eqnarray*}$

Richtig, das ist der Schlüssel. Freude

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