Probleme mit Bruchgleichungen mit zwei unbekannten

22.05.2005, 20:57

Zaunpfahl

Probleme mit Bruchgleichungen mit zwei unbekannten

Hallo,

ich wiederhole gerade Realschulmathematik und das klappt auch ganz gut, bloss bei einigen Bruchgleichungen habe ich immer wieder Schwierigkeiten.

Ich bin gerade bei zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten und hänge bei dieser scheinbar simplen Aufgabe fest:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{7} + \frac{y}{5} = 24 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{6} + \frac{y}{12} = 9 \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst versucht die Aufgabe mittels Determinanten zu lösen, was aber nicht zum richtigen Ergebnis führte. Wahrscheinlich ist es falsch einfach für $\begin{eqnarray*} \frac{x}{6} \end{eqnarray*}$ einen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}x \end{eqnarray*}$ zu schreiben und dies dann für die Lösung mittels Determinanten zu benutzen.

Ich habe dann einfach versucht die untere Gleichung nach x aufzulösen und dann in die obere einzusetzen, was mich aber zu völlig falschen Ergebnissen führte.

Es wäre nett wenn mir jemand mal diese Aufgabe vorrechnen könnte. Per Einsetzungsverfahren oder auch Gleichsetzungsverfahren.

Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Christian

22.05.2005, 21:25

etzwane

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RE: Probleme mit Bruchgleichungen mit zwei unbekannten

Zitat:

Original von Zaunpfahl
Ich habe dann einfach versucht die untere Gleichung nach x aufzulösen und dann in die obere einzusetzen, was mich aber zu völlig falschen Ergebnissen führte.

so geht es schon, nur du musst halt richtig rechnen, und das lernst du in diesem Fall nur durch Übung und nicht, wenn dir etwas vorgerechnet wird

22.05.2005, 22:07

Helfer

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Das hier
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{6}=(\frac{1}{6})x \end{eqnarray*}$
ist wahr, und manchmal auch übersichtlicher.
Es handelt sich schlicht um eine andere Schreibweise, du kannst beide Terme (linke und rechte Seite) also in deinen Gleichungen nach herzenslust vertauschen.

Wenn dir die Brüche in der Gleichung zu Schaffen machen, kannst du deine Gleichungen auch zu Ganzzahligen Gleichungen "umrechnen", indem du mit einem gemeinsamen Nenner Multiplizierst.

In der ersten Gleichung wäre das z.B. 35
Dann lautet deine Gleichung (nach kürzen)
5x+7y=(24)*(35)

Diese Gleichung lässt sich dann vielleicht leichter nach x oder y auflösen.
Mit der 2. Gleichung kannst du genauso verfahren.

Ich hoffe du kommst erstmal weiter...

22.05.2005, 22:09

Zaunpfahl

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N´abend, ist natürlich richtig das man auch durch Übung lernt.

Aber habe da wirklich Schwierigkeiten bei bestimmten Bruchaufgaben.
Und da Mathebücher generell Methodik an simplen Beispielen aufzeigt, aber sich die schweren bzw. völlig andersartigen Aufgaben für die Übungsaufgaben vorenthält, kann ich da durch üben nicht viel erreichen, nur durch probieren und da komme ich nun langsam nich mehr weiter.

Wenns keiner Vorrechnen will, kann ich morgen gerne mal meine versuchten Lösungswege posten und mir da evtl. jemand aufzeigen wo ich die Fehler mache.

Edit:
thx@Helfer, werde mich morgen noch mal melden und mal schauen ob ich so weiterkomme, ist heute schon zu spät für mathe.

22.05.2005, 22:14

etzwane

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Versuche es mal mit der Gleichsetzungsmethode:

löse beide Gleichungen nach y auf, setze sie gleich, und poste das Ergebnis bis dahin

23.05.2005, 10:52

Zaunpfahl

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Moin, danke nochmal habe es jetzt damit lösen können!
Meine Probleme lagen darin, das ich beim erweitern auf den gleichen Nenner irgendwie Fehler gemacht habe, kann ich jetzt irgendwie auch nicht mehr nachvollziehen, da ich es bei anderen Aufgaben richtig gemacht habe...

Naja, die Auflösung der Gleichungen nach y ergibt:

$\begin{eqnarray*} y=120-\frac{5}{7}x \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} y=108+2x \end{eqnarray*}$

Womit ich nach Gleichsetzung zu den richtigen Ergebnissen:
$\begin{eqnarray*} x=84 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=60 \end{eqnarray*}$
komme.

Also danke noch mal an alle!
Gruß
Christian

23.05.2005, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zaunpfahl
$\begin{eqnarray*} y=108+2x \end{eqnarray*}$

Sollte heißen:
$\begin{eqnarray*} y=108 - 2x \end{eqnarray*}$

23.05.2005, 14:54

Zaunpfahl

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Pardon,
ich hatte mich da verschrieben, es sollte heissen:
$\begin{eqnarray*} y=-108+2x \end{eqnarray*}$

Habe aber weiterhin Probleme bei Bruchgleichungen, wenn die Variablen im Nenner stehen:

2 lineare Gleichungen:
1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 6 \end{eqnarray*}$
sowie
2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4 \end{eqnarray*}$

Will die erste Gleichung also erstmal nach x umformen, also auf einen gemeinsamen Nenner $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ gebracht.
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = 6 \end{eqnarray*}$
weiter
$\begin{eqnarray*} y+x=6xy \end{eqnarray*}$
demnach
$\begin{eqnarray*} y=6xy-x \end{eqnarray*}$
dann x ausgeklammert
$\begin{eqnarray*} y=x(6y-1) \end{eqnarray*}$
und entsprechend nach x umgestellt
$\begin{eqnarray*} x= \frac{y}{6y-1} \end{eqnarray*}$

Schön und gut, dasselbe mit der 2.ten Gleichung gemacht und
$\begin{eqnarray*} x= \frac{y}{4y+1} \end{eqnarray*}$
erhalten.

Ich nehme an das dort schon irgendwo der Fehler drin steckt.

Dann beide Gleichungen gleichgesetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{6y-1}=x= \frac{y}{4y+1} \end{eqnarray*}$

dann auf einen Nenner gebracht:
$\begin{eqnarray*} \frac{y(4y+1)-y(6y-1)}{(6y-1)(4y+1)}=0 \end{eqnarray*}$

Womit ich nach weiterer Umformung $\begin{eqnarray*} -2y²+2y=0 \end{eqnarray*}$ erhalte und dann schließlich für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$
Was laut meinem Buch falsch ist.

Wäre schön wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

23.05.2005, 14:58

etzwane

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Rechne bei dieser Aufgabe einfach mit u=1/x und v=1/y und löse auf nach u und v, und dann erst nach x und y.

23.05.2005, 14:59

derkoch

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23.05.2005, 15:13

Zaunpfahl

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Danke für den Tipp mit u und v, kannte ich noch gar nicht.
Bin damit (viel schneller) zum gleichen Ergebnis gekommen $\begin{eqnarray*} y=1 ; \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
Laut meinem Buch ist das falsch, habe aber bei einer Online Rezension herausgefunden das das Buch offensichtlich viele Fehler enthält.
Siehe Hier!
Gehe also mal davon aus das meine Rechnung richtig ist....
Also Danke noch mal für die Hilfe!

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