Varianz der geo. Verteilung

07.01.2008, 21:01	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz der geo. Verteilung Hallo, wo schon im Titel steht, möchte ich die Varianz der geo. Verteilung bestimmen. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} E(X)=\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ ergibt bzw. habe es errechnet. Folgendes habe ich bis jetzt: $\begin{eqnarray} Var(X)&=&E\left(X^{2}\right)-E\left(X\right)^{2}\\&=&\sum_{k=0}^{\infty}\left[k^{2}\cdot pq^{k-1}\right]-\frac{1}{p^{2}}\\&=&p\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[k^{2}\cdot q^{k-1}\right]-\frac{1}{p^{2}}\\&=&p\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[k^{2}\cdot q^{k-1}+kq^{k-1}-kq^{k-1}\right]-\frac{1}{p^{2}}\\&=&p\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[k^{2}\cdot q^{k-1}+kq^{k-1}\right]-p\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[kq^{k-1}\right]-\frac{1}{p^{2}}\\&=&p\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[k\left(k+1\right)\cdot q^{k-1}\right]-p\cdot\frac{1}{\left(1-q\right)^{2}}-\frac{1}{p^{2}} \end{eqnarray}$ Könntet ihr mir einen Tipp geben, wie ich am besten weiter machen kann? Oder gehe ich in eine ganz falsche Richtung? Viele Grüße -- MrMilk
07.01.2008, 22:20	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung (zweifache) der Geometrischen Reihe könnte dir hier helfen, die erste Ableitung hast du ja auch schon benutzt, im Prinzip. mfG 20
08.01.2008, 12:41	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bei Wikipedia gibt es eine Herleitung der Varianz. Wenn du lieber alleine drauf kommen willst, dann klicke NICHT hier. Mr.Pink
08.01.2008, 19:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und am schnellsten geht es hier mit der erzeugenden Funktion (die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray} X=k \end{eqnarray}$ wird zum Koeffizienten von $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ einer Potenzreihe): $\begin{eqnarray} g(x) = \sum_{k=1}^{\infty} pq^{k-1} x^k = px \sum_{k=1}^{\infty} (qx)^{k-1} = \frac{px}{1-qx} \end{eqnarray}$ Man bestimmt die ersten beiden Ableitungen: $\begin{eqnarray} g'(x) = \frac{p}{(1-qx)^2} \, , \ \ \ g''(x) = \frac{2pq}{(1-qx)^3} \end{eqnarray}$ Und nach einer allgemein gültigen Regel findet man jetzt Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \mu = g'(1) \, , \ \ \ \sigma^2 = g''(1) + \mu - \mu^2 \end{eqnarray}$
08.01.2008, 20:56	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die Antworten. Wenn ich 20_Cent verstehe, dann wäre eine zweifache Ableitung hier angebracht? $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\left[k\left(k+1\right)\cdot q^{k-1}\right] \end{eqnarray}$ Erzeugenden Funktionen sagen mir im Moment nichts, was bei der Korrektur immer Differenzen führt... Viele Grüße MrMilk
08.01.2008, 21:08	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, an der Stelle. Wenn du jetzt zweimal integrierst, dann hast du die geometrische Reihe (anderer Startwert als üblich), und die kannst du anders schreiben. Dann zweimal ableiten. mfG 20
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