DGL Umformung/Skalierung

22.05.2005, 22:23	Feen	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Umformung/Skalierung Hallo an Alle, hab ein Problem beim lösen dieser Aufgabe, finde einfach keinen ANsatz und würde mich über Hinweise oder die Lösung mit Erklärung freuen. gegeben folgende DGLn: $\begin{eqnarray} U'(s)=r_{1}U(s)(1-\frac{U(s)+c_{1}V(s)}{ K_{1}}), s>=0, U(0)=X, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V'(s)=r_{2}V(s)(-1+\frac{c_{2}U(s)}{K_{2}}), s>=0, V(0)=Y, \end{eqnarray}$ mit den Parametern r_1, r_2, K_1, K_2, c_1, c_2 >0 und Anfangswerten X,Y >= 0. Skalieren Sie U, V und s, um eine äquivalente Gleichung der folgenden Form zu erhalten: $\begin{eqnarray} u'(t)=u(t)(1-au(t)-v(t)), t>=0, u(0) =x, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'(t)=bv(t)(u(t)-1), t>=0, v(0)=y. \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die neuen Parameter a,b > 0 und die neuen Anfangswerte y,y>=0.
22.05.2005, 23:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL Umformung/Skalierung mache einen koeffizientenvergleich von: $\begin{eqnarray} 1-\frac{U(s)+c_1V(s)}{K_1} =1-au(t)-v(t) \end{eqnarray}$ da kriegst du eine beziehung zwischen U(s) und u(t) bzw. V(s) und v(t) mit s = kt in U´(s) =... und V´(s)=... einsetzen, erhältst du die skalierungsfaktoren, z.b. $\begin{eqnarray} U(s)=\frac{K_2}{c_2} u(t)\; und\; V(s)=\frac{K_1}{c_1}v(t) \end{eqnarray}$ k, a und b seien dir überlassen werner
23.05.2005, 10:53	Feen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke werde es gleich mal probieren. Sollte ich die Lösung posten für andere die vielleicht ein ähnliches Problem habe?
23.05.2005, 11:43	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mach das! werner
25.05.2005, 15:03	Feen	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalierung zu $\begin{eqnarray} t=s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(t)= \frac{K_{1}v(t)}{c_{1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U(t)= \frac{K_{2}u(t)} {c_{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_{1} = \frac{c_{2}}{K_{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a= \frac{K_{2}}{K_{1}c_{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b= \frac{r_{2}* K_{1}}{c_{1}} \end{eqnarray*}$ ist das so weit korrekt?
25.05.2005, 15:26	Feen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind das die korrekten ANfangswerte oder hab ich einen Denkfehler $\begin{eqnarray} v(0) = \frac{c_{1}Y}{K_{1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(0) = \frac{c_{2}X}{K_{2}} \end{eqnarray}$ bitte um antwort werde jetzt noch die Gleichgewichtspkt. bestimmen und ihre Stabilität bis dann Feen
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25.05.2005, 15:39	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
zu skalierung: das ist so nicht richtig $\begin{eqnarray} r_1=\frac{c_2}{K_2} \end{eqnarray}$ du kannst über diese parameter nicht verfügen, daher s = kt => ds = kdt und k kannst du nun so bestimmen, dass alles paßt U(s), V(s) und a stimmen für k und b erhalte ich $\begin{eqnarray} k=\frac{1}{r_1} \;b=\frac{r_2}{r_1} \end{eqnarray}$ anfangswerte habe ich nicht überprüft, nach sonnenuntergang überprüfe bitte deine/meine werte durch einsetzen werner
25.05.2005, 15:44	Feen	Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilität? Also Gleichgewichtspkt sind (0,0);(1/a,0) und (1,1-a) (0,0) ist instabil da $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{2} = -b \end{eqnarray}$ für b>0 immer negativ ist. Bin ich da richtig? Nun sitze ich an den anderen beiden Gleichgewichtspkt. und komme nicht weiter kann jemand zur stabilität helfen.

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