adjungierte Abbildungen und invariante Unterräume

23.05.2005, 07:19	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
adjungierte Abbildungen und invariante Unterräume Hi Jungs, heute sitze ich an dieser Aufgabe: Sei V eine endlich-dimensionaler $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit Skalarprodukt. Sei weiter $\begin{eqnarray} f : V \rightarrow V \end{eqnarray}$ ein normaler Endomorphismus und $\begin{eqnarray} W \leq V \end{eqnarray}$ ein f-invarianter Unterraum. Zeigen Sie, dass W auch f-invariant ist. So, ich weiß, dass für die Elemente eines invarianten Unterraumes gelten muss: $\begin{eqnarray} x \in W \Rightarrow f(x) \in W \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich das auch für f schließen? Ich bin wie immer für jedwede Vorschläge offen. MfG Matze
23.05.2005, 14:01	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
was genau ist denn ein 'normaler' Endo? Wenn das irgendwas mit vollem Rang zu tun hat, müsste folgender Ansatz funktionieren. Definiere W' durch V=W+W' zeige: auch W' ist f-invariant die Eigenschaft, das W f-invariant ist, schreibt sich mit Skalarprodukt als: x ist in W wenn für alle w' in W' gilt: <x,w'>=0 impliziert <f(x),w'>=0 da kannst du dann auch dein f* einsetzen und dann ist der Beweis nicht mehr so schwierig
24.05.2005, 15:58	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm... ob des auch mit dem Rang zusammenhängt kann ich im Moment nicht sagen, aber normal bedeutet in diesem Fall, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ vertauschen, also $\begin{eqnarray} f(x) = Ax, f^(x) = A^x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist Matrix und $\begin{eqnarray} A^A = AA^ \end{eqnarray}$ . Inzwischen habe ich einen Lösungsansatz für mein Problem gefunden: Aus dem Hauptachsentheorem für normale Abbildungen folgt, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ besitzt. Gleiches gilt für $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Da für jeden Eigenvektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f^(x) = \Lambda x \end{eqnarray}$ (wobei das große Lambda einfach Lambda-quer sein soll, aber ich weiß leider nicht, wie des in TeX geht) und wir ja alle Elemente von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ als Linearkombinationen von Eigenvektoren schreiben können, sind wir fertig (oder zumindest fast). MfG Matze

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