Minimalpolynom

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Kleiner Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom
Hallöchen!!!
Da ich folgende Aufgabe lösen muss:

Ermitteln Sie das Minimalpolynom der Matrix
A =

wäre es nett wenn mir mal jemand kurz und knapp erklären könnte was man eigentlich genau unter Minimalpolynom versteht, da ich so irgendwie nicht in der Lage bin die Aufgabe zu lösen.
DANKE
Kleiner Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag
Wollt eben nur schnell noch was dazu fügen:
Also ich weiß wie man das charakteristische Polynom bildet, wir haben Eigenwerte und Eigenräume berechnet, es geht mir also um den Zusammenhang, da ich irgendwie nicht weiß wo ich das Minimalpolynom einordnen soll und vorallem wie ich es berechne ???!!!
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du das char pol schon hast, bist du schon fast da, das minimal pol sieht fast genauso aus, es änderen sich höchstens die Potenzen der Linearfaktoren. Im char pol kommt jeder Faktor entpsrechend der vielfachheit des Eigenwertes vor, im Minimalpolynom nur noch so oft, wie die Dim des erzeugten Eigenraumes ist, diese ist immer mindenstens ein und höchstens die Vielfachheit des Eigenwertes.
thealmighty Auf diesen Beitrag antworten »

für das minimal polynom musst du als erstes, wie du schon gesagt hast das charakteristische ausrechnen, was bei unserer Aufgabe so aussieht:



jetzt müssen drei eigenschaften erfüllt werden:

(1) größte Koeffizient =1
(2)
(3) teilt das charakteristische Polynom

Und jetzt gibt es für das minimalpolynom noch fünf möglichkeiten, für die man die drei Eigenschaften durchtesten muss!

(ist das halbwegs verständlich.... verwirrt )
kiro2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht ganz richtig. Es gibt nur Zwei möglichkeiten, den die Nullstellen des chark. Pol. müssen auch die Nullstellen des min Pol. sein.Siehe Beutelsbacher!
thealmighty Auf diesen Beitrag antworten »

jaja, und wenn man alle bedingungen durchgerechnet hat, dann gibt es nur n och eine Lüsung.... Wink
 
 
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quarague
Im char pol kommt jeder Faktor entpsrechend der vielfachheit des Eigenwertes vor, im Minimalpolynom nur noch so oft, wie die Dim des erzeugten Eigenraumes ist, diese ist immer mindenstens ein und höchstens die Vielfachheit des Eigenwertes.


Ist das (rot-markiert) der Grund warum folgende Matrizen als Minimalpolynom haben, und nicht wie die Nullmatrix ?

oder
..

Ich verstehe nicht ganz warum diese Matrizen nicht das Minimalpolynom haben...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hat sich quarague etwas vertan:

Zitat:
Original von http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom
Die Vielfachheit einer Nullstelle von p bestimmt die Länge der längsten Hauptvektor-Kette zum Eigenwert [...] Somit ist die Größe des größten zu gehörenden Jordanblocks der Jordanschen Normalform von A identisch mit der Vielfachheit von im Minimalpolynom p.

Speziell bedeutet das: Das Minimalpolynom einer diagonalisierbaren Matrix besitzt nur einfache Nullstellen.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. die Matrizen
oder
..

haben weil sie nicht (über IR) diagonalisierbar sind??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na rechne doch einfach aus ... smile
phi Auf diesen Beitrag antworten »

gibt natürlich bei beiden Beispielmatrizen die Nullmatrix....aber ich verstehe den Zusammenhang zum Minimalpolynom noch nicht.
Idee!
Also die Definition ist ja: das Minimalpoylom ist das Polynom kleinsten Grades, so dass gilt:



Ahh!! Ich hab´s:
Wenn ich jetzt in einsetze käme M statt 0 raus!

Und in eingesetzt erfüllt es die Definition.

smile
Danke Arthur & Gruß, phi
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

ich bin hier auf ein Beispiel gestossen, wo es für das Minimalpolynom drei Möglichkeiten gibt:

Sei

mit den Eigenwerten 1, 1, 2 und dem char. Polynom . Es kommen drei Polynome als Minimalpolynom in Frage:

1)
2) (Mein Favorit)

Die 3. Variante ist als Lösung im Buch angegeben, obwohl das negative Vorzeichen eindeutig gegen die Normierung eines verstösst:

3)

Einsetzen von A ergibt in allen drei Fällen 0 , alle drei teilen das char. Polynom....bei dem Kriterium welches das Ideal J(f) erzeugt weiß ich nicht mehr weiter.

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