Matrix ist orthogonal, symetrisch und positiv definit

23.05.2005, 16:55

alain

Matrix ist orthogonal, symetrisch und positiv definit

Eine Matrix A ist orthogonal, symetrisch und positiv definit. Es gilt zu zeigen, dass die einzige Matrix, die alle 3 Bedingungen erfüllt gerade die Einheitsmatrix ist.

D.h.
i) A ist orthogonal ( $\begin{eqnarray*} A^t=A^{-1} \Rightarrow A^tA=E \end{eqnarray*}$ )
ii) A ist symmetrisch ( $\begin{eqnarray*} A^t=A \end{eqnarray*}$ )
iii) A ist positiv definit (Sei $\begin{eqnarray*} X \neq 0 \end{eqnarray*}$ ein Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \Rightarrow X^tAX>0 \end{eqnarray*}$ )

ist genau dann wahr, wenn $\begin{eqnarray*} A=E \end{eqnarray*}$

Ich beweise zuerst den "Rückweg":
Sei $\begin{eqnarray*} A=E \end{eqnarray*}$ :
i) $\begin{eqnarray*} E^tE=E \end{eqnarray*}$ ist klar (folgt aus ii)
ii) $\begin{eqnarray*} E^t=E \end{eqnarray*}$ ist klar (folgt aus i)
iii) Sei X Spaltenvektor mit $\begin{eqnarray*} X\neq0 \Rightarrow X^tEX=\sum x_i^2>0 \end{eqnarray*}$ (folgt aus Positivität von Quadraten)

Jetzt versuche ich den Hinweg zu beweisen.

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Matrix mit:
i) $\begin{eqnarray*} A^tA=E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (A^t=A^{-1}) \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} A^t=A \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} X^tAX>0 \end{eqnarray*}$ mit Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} X\neq0 \end{eqnarray*}$

Auz i) und ii) folgt $\begin{eqnarray*} A^2=E \end{eqnarray*}$

Darf ich jetzt einfach folgendes machen?

$\begin{eqnarray*} E E = E = A^tA=AA \Rightarrow A=E \end{eqnarray*}$
Darf ich nicht! thx @Leopold Aus E=AA folgt nicht A=E

(Der Leser möge beachten, dass folgende Schlüsse nicht wesentlich zur Lösung der Aufgabe beigetragen haben. In den Folgebeiträgen geht es weiter.)

Alternativ betrachte ich $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})=(a_{ji}) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} C=A^2=(c_{ij})=(c_{ji})=E \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} c_{ii}=\sum_{k=1}^n a_{ik}^2=1 \end{eqnarray*}$ (weil $\begin{eqnarray*} C=E \end{eqnarray*}$ )
sowie $\begin{eqnarray*} \forall i\neq j \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}a_{kj}=0 \end{eqnarray*}$

Kann ich aus den $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} A=E \end{eqnarray*}$ ist?

Eigentlich eine sehr schöne Aufgabe, es ist mir relativ alles klar, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beweisen kann.

23.05.2005, 17:23

Leopold

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Die Ausführungen am Schluß verstehe ich nicht. Müßte es nicht

$\begin{eqnarray*} c_{ii} = \sum_{j}^{}a_{ij}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

heißen?

Ich würde die Sache auch anders angehen. Du kannst ja aus $\begin{eqnarray*} A^2 = E \end{eqnarray*}$ folgern: $\begin{eqnarray*} (A-E)(A+E) = 0 \end{eqnarray*}$

Nur jetzt Vorsicht! So ohne weiteres kann man hier ja nicht schließen, daß einer der Matrixfaktoren 0 sein muß, denn der Matrizenring ist ja nicht nullteilerfrei. Begründe daher zunächst, warum $\begin{eqnarray*} A+E \end{eqnarray*}$ eine positiv definite symmetrische Matrix ist, und folgere dann weiter.

23.05.2005, 21:00

alain

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Zitat:

Die Ausführungen am Schluß verstehe ich nicht.

Muss es in der Tat. Herzlichen Dank für den Hinweis, denn es war leider kein Typo, sondern ein Denkfehler meinerseits. Ich hab es im obigen Post korrigiert (benutze aber immernoch k für den Indize).

Danke vielmals für den Tipp!

Während mich meine Alternative aus dem ersten Post nicht weiterbringt (ich lasse es trotzdem stehen), ist dieser Tipp sehr viel wert.

Ich kann also aus $\begin{eqnarray*} A^2=E=EE \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} A^2-E^2=0 \end{eqnarray*}$ woraus (dritte Binomische Formel) folgt $\begin{eqnarray*} (A-E)(A+E)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, dass entweder $\begin{eqnarray*} A+E=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A-E=0 \end{eqnarray*}$

Also Behaupte ich $\begin{eqnarray*} A+E \end{eqnarray*}$ ist positiv definit $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow X^t(A+E)X>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X \neq 0 \end{eqnarray*}$ Spaltenvektor.

Die Vorraussetzung besagt, dass A positiv definit ist, und die positive Definität von E ist klar. ( $\begin{eqnarray*} X^tEX=\sum x_i^2>0 \end{eqnarray*}$ )

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} v \neq 0: <v, (A+E)v> = <v, Av> + <v, Ev> >0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} <v, Av> >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <v, Ev> >0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} A+E \neq 0 \Rightarrow A-E=0 \Rightarrow A=E \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} A^2=E \end{eqnarray*}$

Womit gezeit wäre, dass die Einheitsmatrix die einzige Matrix ist, die sowohl symmetrisch, orthogonal und positiv definit ist.

Danke nochmals @Leopold! ;-)

23.05.2005, 21:47

Leopold

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Zitat:

Original von alain
Daraus folgt dann, dass entweder $\begin{eqnarray*} A+E=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A-E=0 \end{eqnarray*}$

Nein, das folgt nicht. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier gilt auch $\begin{eqnarray*} (A-E)(A+E) = 0 \end{eqnarray*}$ , und dennoch ist weder $\begin{eqnarray*} A-E=0 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} A+E=0 \end{eqnarray*}$

Erst zusammen mit der positiven Definitheit (welcher das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ im Gegenbeispiel nicht genügt) kannst du schließen, daß auch $\begin{eqnarray*} A+E \end{eqnarray*}$ positiv definit ist (den Beweis dafür hast du richtig gemacht, nur versuche, dich noch kürzer zu fassen). Und weil $\begin{eqnarray*} A+E \end{eqnarray*}$ positiv definit ist, ist es auch invertierbar. Daher kannst du jetzt folgern:

$\begin{eqnarray*} (A-E)(A+E) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A-E)(A+E)(A+E)^{-1} = 0 \cdot (A+E)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A-E = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = E \end{eqnarray*}$

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