Uneigentliches Integral

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23.05.2005, 20:26	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral Hallo zusammen, sei $\begin{eqnarray} \left[t\right] \end{eqnarray}$ die größte ganze Zahl $\begin{eqnarray} \leq t \end{eqnarray}$ . Nun soll ich das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}{2^{\left[-1/t\right]}}dt \end{eqnarray}$ berechnen. Was mache ich denn hier, um das Integral zu berechnen? Danke im Voraus, Stefan
23.05.2005, 21:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^1~2^{\left[ -\frac{1}{t} \right]}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2} \left( 1 - \ln{2} \right) \end{eqnarray}$ Und mehr wird erst einmal nicht verraten. Sieh dir den Graphen an und überlege selbst, wie das Ganze wohl losgeht.
24.05.2005, 16:24	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, so jetzt haben wir uns erst mal Gedanken gemacht. Hier ist das Ergebis: $\begin{eqnarray} \left[ \frac{1}{t}\right] \end{eqnarray}$ ist ja für den Bereich 1 bis 1/2 = 1 im Bereich 1/2 bis 1/3 = 2 im Bereich 1/3 bis 1/4 = 3, d.h. ich habe eine Treppenfunktion. Deren Flächeninhalt berechnet sich dann so: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}{2^{-i}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)} \end{eqnarray}$ Nun gilt es zu bestimmen, wohin diese Reihe konvergiert (Ergebnis wird ja dann $\begin{eqnarray} \int_0^1~2^{\left[ -\frac{1}{t} \right]}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2} \left( 1 - \ln{2} \right) \end{eqnarray}$ sein).
24.05.2005, 16:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht ganz richtig - wir sind ja im negativen: $\begin{eqnarray} \left[-\frac{1}{t}\right] \end{eqnarray}$ ist ja für den Bereich 1 bis 1/2 = -2 im Bereich 1/2 bis 1/3 = -3 im Bereich 1/3 bis 1/4 = -4, ... $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}{2^{-i-1}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)} \end{eqnarray}$ Für nichtganzzahlige x gilt nämlich $\begin{eqnarray} \lfloor -x\rfloor = -\lfloor x\rfloor-1 \end{eqnarray}$ .
24.05.2005, 17:01	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Uups, das Minus steht ja in der Gauß-Klammer. Gut, das mich jemand darauf hinweist.. So, jetzt rechne ich noch ein bisschen weiter: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{2^{-i}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)} = \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2^{i}i}} - \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2^{i}(i+1)}}\right) \end{eqnarray}$ . Jetzt weiß ich zwar, wo ich hinmuss, aber mit meiner Reihendarstellung des Log komme ich nicht weiter: $\begin{eqnarray} \log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}} \end{eqnarray}$ Wie um Himmels willen forme ich das denn nun um? Stefan
24.05.2005, 17:50	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn du in der letzten Gleichung -x anstelle x einsetzt, würde das helfen ? Dann sind schon mal alle Reihenglieder positiv, oder doch nicht?
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24.05.2005, 19:53	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn ich -x an Stelle von x einsetze, erhalte ich lauter negative Glieder (zumindest nach meiner Rechnung). Aber wie hilft mir das weiter? Stefan
24.05.2005, 21:27	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht, du hast oben doch 2 Reihen, setz dort 1/2=x und versuche irgendwie die Reihen auf die Darstellung der Reihe für ln(1-x) zu bringen, das sollte doch möglich sein
24.05.2005, 21:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der von etzwane vorgeschlagene Vorzeichenwechsel von x zu -x ist uf jeden Fall hilfreich. Und ein zweiter Hinweis: Indexverschiebung i+1=j in einer der Summen $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}(i+1)}=\sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}j} \end{eqnarray}$
26.05.2005, 08:45	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, genau das war es, was gefehlt hat. Jetzt hat's geklappt! Vielen Dank euch allen. Gruß, Stefan

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