Causchy-Produktformel

23.05.2005, 20:33

ninja_rock

Causchy-Produktformel

moin

ich komm nicht weiter... vielleicht kann mir ja jemand helfen:

also: es ist gegeben $\begin{eqnarray*} e=\sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

aufgabe: finden sie eine reihendarstellung zu e^2. benutzen sie dazu die caushy-produktformel!

mir ist klar, wie die summe aussieht und so weiter, aber ich finde da keine gescheite reihendarstellung, jedenfalls keine die sich von der Cauchy-Produktformel (nach dem einsetzen von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ) wirklich unterscheidet.

hoffe ihr wisst was ich meine und könnt mir helfen.

mfg dieter

23.05.2005, 20:59

Mathespezialschüler

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Hallo!
Also die Reihe muss bei k=0 beginnen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}=\sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Das schreibt man weder "Causchy" noch "Caushy", sondern "Cauchy"!
Und dann zeig doch erstmal wie deine Cauchy-Reihe aussieht! Dann können wir ja einen kleinen Tipp geben ...

Gruß MSS

23.05.2005, 21:30

ninja_rock

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hoppla, das hab ich bei dem formeleditor vergessen zu ändern...

und zu cauchy.. ich habe ja jede formulierung einmal benutzt, hehe smile

also bei mir sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=0}^\infty~a_n)*(\sum_{n=0}^\infty~b_n)=\sum_{n=0}^\infty~c_n =\sum_{n=0}^\infty~ \sum_{k=0}^n~a_k*b_{n-k} \end{eqnarray*}$

dann setze ich für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k-n)!} \end{eqnarray*}$ ein und erhalte :
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~c_n=\sum_{n=0}^\infty~ \sum_{k=0}^n~ \frac{1}{k!}* \frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

und nu?

edit: latex-Code verbessert, Indizes müssen in geschweifte Klammern! (MSS)

23.05.2005, 21:55

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ninja_rock
dann setze ich für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k-n)!} \end{eqnarray*}$ ein

Du meinst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Ich erweitere mal für dich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{n!}\cdot \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Fällt dir vielleicht etwas auf?
PS: Falls du die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ kennst, dürfte dir das Ergebnis ja schon bekannt sein. Vielleicht hilft dir das ja auch, dass es bei dir "klick" macht! Augenzwinkern

Gruß MSS

23.05.2005, 23:45

ninja_rock

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ja das meinte ich wohl smile

ok, du hast mit $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n!} \end{eqnarray*}$ erweitert und $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ vor das summenzeichen gebracht. mir ist dann aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k!(n-k)!} =\sum_{k=0}^n~ 2^{n} \end{eqnarray*}$ .
das habe ich nun mittels vollständiger induktion zu beweisen versucht, wobei ich allerdings gescheitert bin. bevor ich da noch mehr zeit investiere, wäre es gut zu wissen, ob es auf diese weise machbar ist.

vielen dank für die antworten!

23.05.2005, 23:54

Mathespezialschüler

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Hallo!
Du hast auf der rechten Seite ein Summenzeichen zu viel! Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k!(n-k)!}=\sum_{k=0}^n~{n\choose k} \end{eqnarray*}$

und dass die rechte Summe $\begin{eqnarray*} =2^n \end{eqnarray*}$ ist, ist eigentlich allgemein bekannt. Habt ihr das schon bewiesen? Dann kannst du das ja einfach einsetzen! smile

Gruß MSS

24.05.2005, 16:06

ninja_rock

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ok, das leuchtet mir alles ein und das ist dann ja auch schon die lösung. allerdings würde mich jetzt trotzdem nochmal der beweis von
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^{n} \end{eqnarray*}$
interessieren. da wäre ich für nen guten tip sehr dankbar! bin ich aber auch schon so Tanzen

thx

24.05.2005, 16:47

etzwane

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rechne mal gliedweise aus nach der binomischen Formel: $\begin{eqnarray*} (1+1)^n = ? \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 17:21

ninja_rock

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hallo nochmal.

jaich weiß was du mir zeigen willst. danke dafür. mir ist schon klar, warum die gleichung stimmt. Pascalsches Dreieck und so. aber wie beweise ich das denn? also nicht für einen bestimmten wert, sondern für n:

$\begin{eqnarray*} (1+1)^{n} = 1^n+ ? .... +1^n \end{eqnarray*}$

weißt du wie ich meine?

24.05.2005, 17:29

etzwane

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ich dachte eher so, bloß für a=1 und b=1:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b +....+{n\choose n-1}ab^{n-1}+b^n \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 19:26

ninja_rock

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mmm ok ich weiß wie du meinst, aber das zu beweisen gelingt mir immernoch nicht. ich versuche es mit vollständiger induktion, da kann ich allerdings den induktionsschritt nicht so umformen, dass ich auf
$\begin{eqnarray*} (1+1)^n(1+1) \end{eqnarray*}$
komme

vorschlag?

24.05.2005, 21:21

etzwane

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Ich kann mir nicht vorstellen, dass du den binomischen Lehrsatz (a+b)^n=... beweisen musst, wenn du andrerseits unendliche Reihen handeln und gliedweise miteinander multiplizieren sollst.

Setz voraus, dass der binomische Lehrsatz so stimmt für a und b, dann setz a=1 und b=1 und zeige somit, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~{n \choose k}=2^n \end{eqnarray*}$

Ich wüsste gar nicht, wo ich nach einem Beweis suchen sollte. verwirrt

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