Ableitung ln

23.05.2005, 21:29

mcxico

... da der/das Thread/Thema grad exisitiert nutz ich ihn gleich mal mit.

Ich bräuchte (vermutlich nur) einen kurzen Gedankenanstoß zum Ableiten folgender ln-Fkt.

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2+\frac{1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Was mich leicht verwirrt ist das letzte Quadrat ...

Danke im Voraus!

Gruß, David

23.05.2005, 22:30

Mathespezialschüler

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Geteilt

Bitte trotzdem einen neuen Thread dafür aufmachen! Danke.

Zur Aufgabe: Deine Darstellung ist nicht eindeutig! Meinst du

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\ln\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$

??

Gruß MSS

23.05.2005, 22:32

etzwane

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Zitat:

Original von mcxico $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2+\frac{1}{2})^2 \end{eqnarray*}$
Was mich leicht verwirrt ist das letzte Quadrat ...

Es gibt doch nur 2 Möglichkeiten (mit $\begin{eqnarray*} z=x^2+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} f=\ln(z^2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f=(\ln z)^2 \end{eqnarray*}$

Nach meiner Meinung ist die erste Darstellung richtig, aber du könntest auch zur Übung beide Funktionen nach x ableiten.

EDIT: MSS war schneller ...

24.05.2005, 15:06

Ari

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

bei dieser funktion würde ich binomische formel anwenden... verwirrt

24.05.2005, 15:09

derkoch

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mach doch nach etzwanes methode! ist am besten geeignet! substituiere das argument mt $\begin{eqnarray*} z= ( ...) \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 15:37

iammrvip

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Zitat:

Original von Ari

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\right) \end{eqnarray*}$

bei dieser funktion würde ich binomische formel anwenden... verwirrt

ach du ...

Logarithmengesetze!

$\begin{eqnarray*} \ln x^r = r\cdot \ln x, \quad (x,r) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 22:03

Ari

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sorry!!!!

PS: warum darf man denn keine binomische formel da anwenden? traurig

24.05.2005, 22:46

mercany

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@Ari
iammrvip hat es doch erklärt! Es gilt das Logarithmusgesetz...

24.05.2005, 23:02

mcxico

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Da ich die Disskusion angezettelt hab will ich sie nun auch auflösen bzw. klären.
Wink

Die Funktion lautete $\begin{eqnarray*} f(x)=ln( (x^2+\frac{1}{2})^2) \end{eqnarray*}$
(Argument zur Verdeutlichung in Klammern)

Das ist nicht dasselbe, wie $\begin{eqnarray*} f(x)=ln ^2 (x^2+\frac{1}{2}) = (ln (x^2+\frac{1}{2}))^2 \end{eqnarray*}$ .

Zum besseren Verständnis subsituiert man am besten:

Substitution:
$\begin{eqnarray*} z=(x^2+\frac{1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=2x*2(x^2+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ (Kettenregel -> innere Fkt. mal äußere Fkt)

ln-Fkt. ableiten:
$\begin{eqnarray*} f(z)=ln (z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(z)=\frac{z'}{z} \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4x(x^2+\frac{1}{2})}{(x^2+\frac{1}{2})^2} \end{eqnarray*}$

Sollte richtig sein. Einige, mit dem TR, stichprobenartig berechnete Anstiege stimmen zumindest.

@ari: Weil dieser vermeintlich Binom ein Argument der ln-Fkt. ist. Dieses Argument betrachtest Du als eigene Fkt. und leitest sie mit Hilfe der Kettenregel ab. Ausrechnen würde die Sache nur verlängern.

25.05.2005, 07:24

Egal

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Ich denke auch das es richtig ist ich hätte allerdings nicht so substituiert. Wäre die Funktion nach Anwendung der Logarithmengesetze viel einfacher gewesen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln((x^2+\frac{1}{2})^2)=2\ln(x^2+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$
und damit auch das berechnen der Ableitung ganz simpel per Ketenregel
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2\cdot 2x}{x^2+\frac{1}{2}}=\frac{4x}{x^2+\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

25.05.2005, 09:30

brunsi

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antwort
@mcxico: bist du dir sicher, dass diese funktion richtig abgeleitet ist???

ln(z) abgeleitet ergibt ja 1/z und jetzt noch die innere funktion
$\begin{eqnarray*} z=(x^2+\frac{1}{2})^2 \end{eqnarray*}$ hast du ja ganz richtig abgeleitet,

doch ich verstehe (liegt vielleicht daran, dass ich noch nciht ganz wac bin *gg*) nicht, wieso du da z' im nenner hast.

25.05.2005, 09:30

etzwane

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Zitat:

Original von mcxico
...
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4x(x^2+\frac{1}{2})}{(x^2+\frac{1}{2})^2} \end{eqnarray*}$

Sollte richtig sein.
...

Ist richtig, nur kannst du das Ergebnis noch "verfeinern", indem du den Bruch kürzt.

@Ari:
natürlich kann man auch die binomische Formel anwenden, das wäre sogar ein sehr einfacher Weg, aber nicht der optimale Rechengang, vergleiche mal:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^4+x^2+1/4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4x^3+2x}{x^4+x^2+1/4} \end{eqnarray*}$

Wenn man das Ergebnis so stehen lassen will, wäre man jetzt fertig, aber man sollte das Ergebnis noch verschönern:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4x(x^2+1/2)}{(x^2+1/2)^2}=\frac{4x}{x^2+1/2} \end{eqnarray*}$

25.05.2005, 12:28

Ari

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@ iammrvip & mercany & mcxico & etzwane: ok, dankeschön! smile

25.05.2005, 12:50

mercany

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@Ari
Hast du es denn verstanden?

25.05.2005, 13:10

Ari

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@ mercany: ja, ihr meint doch logarithmengesetze sind einfacher anzuwenden als binomische formeln und das ist dann unkomplizierter...oder? ^^

25.05.2005, 14:52

mercany

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Nicht direkt!
Gefragt ist hier ja die Ableitung, und in diesem Falle wird diese Binom als eigene Fkt. angesehen. Es wird also seperat abgeleitet (Kettenregel)...
Würdest du jetzt aber erst das Binom auflösen, so würde das einen unnötig größeren Rechengang mit sich bringen. Augenzwinkern

Mfg
mercany

/edit: sehe gerade, dass mcxico das weiter oben in seiner Erklärung doch schon angeschnitten hatte! nicht gelesen, ari verwirrt

25.05.2005, 15:47

Ari

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Zitat:

Original von mcxico
(Kettenregel -> innere Fkt. mal äußere Fkt)

doch, aber ich halt mich da besser so etwas raus, hab davon (kettenregel etc.) keine ahnung Hammer

mir war nicht klar, dass es doch so kompliziert ist. sorry!!!

25.05.2005, 16:59

mcxico

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Zitat:

Original von Ari

doch, aber ich halt mich da besser so etwas raus, hab davon (kettenregel etc.) keine ahnungsorry!!!

Ich hab mich mit der Kettenregel am Anfang auch schwer getan, aber wenn Du z.b. Wurzelfunktionen ableiten willst bleibt Dir nichts anderes übrig.

Übrigens: Kettenregel ist nicht so schwer wie sie aussieht. Mach mal zehn Übungsaufgaben zur Kettenregel und dann machts garantiert klick! Freude

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