einfache Differenziation ^^

24.05.2005, 09:10

martn

einfache Differenziation ^^

Guten Morgen,

hab da mal n problem:

wie zeig ich denn dass $\begin{eqnarray*} F(x) := \int_{\mathbf{R}} e^{-t^2} \cos (xt) dt \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion (ihre Ableitung soll man durch differenzieren unter dem Integral erhalten) definiert?

könnt ihr mir mal n kleinen Ansatz geben?

Hilfe

thx

24.05.2005, 09:16

klarsoweit

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RE: einfache Differenziation ^^
Da gibt es mathematische Regeln, die es erlauben, das Differenzieren durchs Integral zu ziehen. Kann jetzt leider nicht sagen, wie die heißen.

24.05.2005, 12:17

Leopold

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Wenn man $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \cos{(xt)}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ unter dem Integralzeichen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenziert, erhält man $\begin{eqnarray*} - \int_{-\infty}^{\infty}~t \operatorname{e}^{-t^2} \sin{(xt)}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ .

Beide Integrale konvergieren gleichmäßig in $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , denn die konvergenten Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2}~\mathrm{d}t \ = \ \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~|t| \operatorname{e}^{-t^2}~\mathrm{d}t \ = \ 1 \end{eqnarray*}$ sind von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhängige Majoranten. Damit hat

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \cos{(xt)}~\mathrm{d}t \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

die Ableitung

$\begin{eqnarray*} F'(x) = - \int_{-\infty}^{\infty}~t \operatorname{e}^{-t^2} \sin{(xt)}~\mathrm{d}t \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Man kann noch mehr sagen. Durch partielle Integration findet man

$\begin{eqnarray*} F'(x) = -\frac{1}{2}x F(x) \end{eqnarray*}$

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} F(0) = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ erhält man als Lösung des Anfangswertproblems

$\begin{eqnarray*} F(x) = \sqrt{\pi} \operatorname{e}^{-\frac{x^2}{4}} \end{eqnarray*}$

Damit hätten wir das Integral sogar berechnet.

24.05.2005, 19:12

martn

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......ok

muss ich wohl erstmal sacken lassen.

aba dass sich mit deiner aussage

$\begin{eqnarray*} F'(x) = -\frac{1}{2} x F(x) \end{eqnarray*}$

meine b) aufgabe $\begin{eqnarray*} 2 F'(x) + x F(x) = 0 \end{eqnarray*}$ schonmal lösen lässt, stimmt mich zufrieden. smile

24.05.2005, 21:52

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold
Beide Integrale konvergieren gleichmäßig in $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , denn die konvergenten Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2}~\mathrm{d}t \ = \ \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~|t| \operatorname{e}^{-t^2}~\mathrm{d}t \ = \ 1 \end{eqnarray*}$ sind von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhängige Majoranten.

Reicht das denn zur Rechtfertigung der Differentiation unter dem Integral? Ich kannte bisher nur, dass man das darf, wenn das 'abgeleitete Integral' gleichmäßig konvergiert und $\begin{eqnarray*} f(x,t):=\operatorname{e}^{-t^2} \cos(xt) \end{eqnarray*}$ in beiden Variablen gleichstetig ist. Oder hast du letzteres jetzt als trivial vorausgesetzt?

Gruß MSS

25.05.2005, 10:15

Leopold

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Natürlich braucht man auch noch die Stetigkeit der Integranden. Die ist aber offensichtlich und nicht erwähnenswert. Im übrigen reicht für das zu $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ gehörende Integral auch die Konvergenz und für das zu $\begin{eqnarray*} F'(x) \end{eqnarray*}$ gehörende die kompakte (d.h. lokal gleichmäßige) Konvergenz, um die Schlüsse durchführen zu können. Insofern habe ich mehr gezeigt, als notwendig gewesen wäre. Aber da der Nachweis für die schärfere Voraussetzung bei diesem Beispiel eins ist mit dem Nachweis für die schwächere Voraussetzung, habe ich da keinen großen Aufwand mehr betrieben.

25.05.2005, 16:55

Em'A'Ce

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Ich hätte da noch ne Frage zu der Differenzialgleichung:
Du (Leopold) hast bei der ja einfach das Ergebnis hingeschrieben, ich komme mit meinen Rechenregeln auf das gleiche, allerdings wird auf meinem aktuellen Aufgabenblatt verlangt, eine Differenzialgleichung zuerst in eine Differenzialgleichung von log F umzuschreiben und diese dann zu integrieren.
Leider weiß ich nicht, wie ich die umschreiben soll, geschweige denn, wie ich des dann integrieren kann.
Kann mir einer von euch des mit der hier aufgestellten DGL zeigen?

MfG
Matze

25.05.2005, 20:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold
Natürlich braucht man auch noch die Stetigkeit der Integranden. Die ist aber offensichtlich und nicht erwähnenswert.

Ich beschäftige mich ja grad erst mit diesem Thema - und deswegen ist es für mich noch nicht so unerwähnenswert. Augenzwinkern

Ich hab einfach noch lange nicht den Überblick/das Gefühl dafür, wann etwas trivial ist und deswegen nicht angeführt wird.

Gruß MSS

26.05.2005, 01:14

martn

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nabend,

nur nochmal ne kleine frage zur notation:

wenn ich F'(x) durch differenzation im inneren bilde und das integral dann löse erhalte ich ja: $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2} e^{-t^2} \sin (xt)] - \int ... \end{eqnarray*}$
kann ja da formhalber sicher nich einfach $\begin{eqnarray*} \infty und -\infty \end{eqnarray*}$ einsetzen, und sagen es löst sich alles in wohlgefallen auf.(wir sind ja schließlich keine physiker)
wie drück ich mich denn hier am sinnvollsten aus?

thx & gute nacht

26.05.2005, 01:55

Mathespezialschüler

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Naja, das ist ja kein Problem:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=-\int_{-\infty}^{\infty}~t \operatorname{e}^{-t^2} \sin(xt)~\mathrm{d}t=-\lim_{u\to \infty}\int_{-u}^u~t \operatorname{e}^{-t^2} \sin(xt)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\lim_{u\to \infty}\left(\left.\frac{1}{2}\operatorname{e}^{-t^2}\sin(xt)\right|_{t=-u}^u-\int_{-u}^u~...~\mathrm{d}t\right)=-\lim_{u\to \infty}\left(\left.\frac{1}{2}\operatorname{e}^{-t^2}\sin (xt)\right|_{t=-u}^u\right)+\lim_{u\to \infty}\left(\int_{-u}^u~...~\mathrm{d}t\right) \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

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