Höha-Aufgabe Integration

24.05.2005, 11:46

wochse

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Höha-Aufgabe Integration

Die Funktion soll einen Damm darstellen.
Aufgabe:
e) Hinten passt es nicht richtig, wie man an der Skizze sieht. Es muss eine kleine Mauer her. Wie hoch muss diese Mauer sein?

An der Stelle 2,5 auf der x-Achse ist die Kuppe die in der Berechnung voher auf dem Damm aufgesetzt worden ist zuende.

Zur Lösung dieser Aufgabe gab es folgende Informationen:
Höhe der kleinen Mauer: Vorn (bei 1,5 m) ist der Damm 14 m hoch. Der Funktionswert bei 2,5 m, also hinten, muss berechnet werden (14,5 m). Die Differenz liefert die Höhe der Mauer.

Von welchem Funktionswert ist da die Rede?

24.05.2005, 12:02

Tobias

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Zitat:

Hinten passt es nicht richtig, wie man an der Skizze sieht. Es muss eine kleine Mauer her. Wie hoch muss diese Mauer sein?

Etwa die Höhe f(3) Längeneinheiten? Oder wie ist das gemeint?

Zitat:

An der Stelle 2,5 auf der x-Achse ist die Kuppe die in der Berechnung voher auf dem Damm aufgesetzt worden ist zuende.

Was denn für eine Kuppe?

Zitat:

Zur Lösung dieser Aufgabe gab es folgende Informationen: ...

Kleine Mauer? Hinten? Differenz?

Zitat:

Von welchem Funktionswert ist da die Rede?

Wovon redest du?

24.05.2005, 12:12

etzwane

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Poste mal die ganze Aufgabe. Offensichtlich war da vorher ein kleinerer Damm, der erhöht/aufgestockt wurde, und man soll da irgendwelche Differenzen ausrechnen.

24.05.2005, 12:14

wochse

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hier nochmal die Aufgabe
So steht das auf dem Aufgabenblatt:
"Die nebenstehende Skizze zeigt einen trapezförmigen Damm, auf den die schaffierteKuppe aufgesetzt werden soll, um den Damm zu erhöhen." (Die schraffierte Kuppe geht auf meinem Blatt von den Koordinaten x1(1,5/14) und 2,5/14,5), das ist schraffiert)

Da steht noch zur Information der Umriss des alten Dammes. Der geht auf der x_Achse bei 2,5 nach oben auf 14,5 auf der y-Achse. Dann steht dann ja ein kleines Stück drüber. Da die andere obere Linie von (1,5/14) bis (2,5/14) geht. Die Maurer hinten ist ja einen halben Meter zu hoch.

Der Umriss der Kuppe wird beschrieben durch die Funktion mit
$\begin{eqnarray*} f(x)=-2*x³+5*x²+5*x+2 \end{eqnarray*}$

a) Wie hoch ist der Damm nach dem Aufsetzen der Kuppe?
b)Bestimmen Sie die Querschnittsfläche der Kuppe.
c) Der Damm ist 450 m lang. Geben Sie an, wie viel m³ Material benötigt werden.
d) Es stehen 2000m³ zur Verfügung. Wie lang könnte die aufgesetzte Kuppe werden?
und e), die ich nicht kann

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

24.05.2005, 12:37

etzwane

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RE: Höha-Aufgabe Integration

Zitat:

Aufgabe:
e) Hinten passt es nicht richtig, wie man an der Skizze sieht. Es muss eine kleine Mauer her. Wie hoch muss diese Mauer sein?

Ich versuche die Aufgabe zu verstehen:
Vorher ohne Kuppe war der Damm hinten 14 m hoch, wenn er fertig ist mit Kuppe, dann ist er hinten 14,5 m hoch. Die Mauer soll wohl die Kuppe nach hinten abstützen, damit das Material nicht wegrutscht, also muss die Mauer 0,5 m hoch sein. Eigentlich hast du schon alles ausgerechnet.

24.05.2005, 12:41

wochse

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Hinweise:
Mein Lehrer hat wie gesagt unten Hinweise hinterlegt wie das zu berechnen ist:
Höhe der kleinen Mauer: Vorn (bei 1,5 m) ist der Damm 14 m hoch. Der Funktionswert bei 2,5 m, also hinten, muss berechnet werden (14,5 m). Die Differenz liefert die Höhe der Mauer."

Das steht da. Ich verstehe halt nicht was mit Funktionswert gemeint ist und welche Differenz ich ausrechnen soll.

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24.05.2005, 14:13

etzwane

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Die Funktion für die Kuppe ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x)=-2x^3+5x^2+5x+2 \end{eqnarray*}$

Du setzt jetzt einmal x=1,5 ein errechnest f(1,5) = .....,
und dann x=2,5 und errechnest f(2,5) = .......
Die Höhe der Mauer ist dann h = f(2,5) - f(1,5) = ......

24.05.2005, 14:35

wochse

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ahhhhhhh...
Hammer

Hammer

...okay. Danke. Mit Zunge

Mit Zunge

Da habe ich so eine Aufgabe:
Der Absatz eines Produktes verläuft nach der Gleichung
$\begin{eqnarray*} v1(t)=12,5-1,11^t \end{eqnarray*}$
t in Monaten, v(t) in 1000/Monat
t=0: Verkaufsbeginn

Wie ist die Stammfunktion?
Welche Ableitungsregel muss ich da anwenden?
c)Der zweite Funktionsgraph gehört zur Funktion mit der Gleichung
$\begin{eqnarray*} v2(t)=3*1,06^t \end{eqnarray*}$ Vergleichen sie den Gesaamtverkauf in den ersten 2 Jahren gemäß v1 mit dem gemäß v2. Welcher sollte laut Zeichnung größer sein?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

24.05.2005, 15:09

etzwane

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Machen wir uns erstmal eine Vorstellung von dem Verlauf der beiden Funktionsgraphen, mit x=Anzahl der Monate bis x=24:

Ich schätze mal, dass der Gesamtverkauf bei der roten Umsatzkurve geringfügig größer ist, Genaueres sollte die Integration der Verkaufsfunktionen zeigen.

24.05.2005, 16:06

wochse

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sTAMMFUNKTION
Ist die Stammfunktion so richtig?
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~12,5-1,11^t~dx= [12,5t-\frac{1}{ln}(1,11)*1,11^t ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 16:27

etzwane

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sieht gut aus, so noch etwas besser:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~12,5-1,11^t~dt= [12,5t-\frac{1}{ln(1,11)}*1,11^t ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 16:50

wochse

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Stimmt das auch?
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~3*1,06^t~dt= [3t*\frac{1}{ln(1,06)}*1,06^t ]_{b}^a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x+6-1,25^x~dx= [0,5x²+6x-\frac{1}{ln(1,25)}*1,25^x ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

Und wie berechne ich wann ein Funktionsgraph am schnellsten steigt?
f´´(x)=0?

24.05.2005, 16:59

etzwane

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zu 1) der Faktor t bei 3t im Integral muss weg. 3 ist ein konstanter Faktor und wird nur mitgeschleppt

zu 2) ok

zu 3) ja, maximal bzw. minimale Steigung aus f'(x)=Extremwert, also f''(x)=0

24.05.2005, 17:26

wochse

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Funktionsstellengraph

Was mache ich beim plotten der Funktion falsch?
Die geht eigentlich so:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}*x^2-0,2*x+6-1,5^x \end{eqnarray*}$
Die zweite Ableitung habe ich jetzt so errechnet. Wie löse ich die Gleichung jetzt um dem Punkt zu bekommen wo der Funktionsgraph am schnellsten steigt?
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2}{3}*-3^{x-2} \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 18:00

etzwane

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schreib bei Brüchen im Funktionsplotter besser 1./3.*... anstelle 1/3*...., also mit zusätzlichen Dezimalpunkten

und die zweite Ableitung ist nicht richtig, auf keinen Fall wird von 1.5^x irgendwann mal 3^x

24.05.2005, 18:15

wochse

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jo

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}*x^2-0,2*x+6-1,5^x \end{eqnarray*}$

1.Abl. $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{3}*x-0,2+1,5^{x-1} \end{eqnarray*}$
2.Abl. $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2}{3}*-3^{x-2} \end{eqnarray*}$
Weiß jemand wie es richtig geht?

24.05.2005, 18:33

etzwane

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beide Ableitungen sind falsch, denke an

f(x) = e^x mit f'(x) = e^x und f''(x) = e^x

f(x) = a^x mit f'(x) = a^x*ln(a) und f''(x)=a^x*(ln(a))² usw.,
genau andersrum wie bei der Integration, da wird durch den Logarithmus geteilt,

und mit a=e ergibt sich wieder die erste Zeile.

24.05.2005, 19:20

wochse

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so?
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{3}x-0,2-1,5^x*ln(-1,5)\\f''(x)=\frac{2}{3}-1,5^x(ln(-1,5))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}-1,5^x(ln(-1,5))^2=0 \end{eqnarray*}$
Wie löse ich die Gleichung der 2.Ableitung =0? Ich weiß nicht wie das geht wegen dem ^x.

24.05.2005, 20:41

etzwane

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RE: so?
KEIN Minus-Zeichen im Logarithmus, es heißt ja auch NICHT: $\begin{eqnarray*} (-1,5)^x \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{3}x-0,2-1,5^x*ln(1,5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2}{3}-1,5^x*(ln(1,5))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}-1,5^x*(ln(1,5))^2=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie löse ich die Gleichung der 2.Ableitung =0? Ich weiß nicht wie das geht wegen dem ^x.

Ganz einfach, bringe 1,5^x alleine auf eine Seite, und dann nimmst du auf beiden Seiten den Logarithmus, z.B. so:
$\begin{eqnarray*} a^x=b, \text{ daraus }x*ln(a)=ln(b) \end{eqnarray*}$ und jetzt kannst du x ausrechnen.

24.05.2005, 21:10

wochse

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'?
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}-1,5^x*(ln(1,5))^2=0\mid -\frac{2}{3} ??? \end{eqnarray*}$
Ich habe quadratische Funktionen dieser Art noch nie gelöst. Kann mir jemand genauer helfen?

24.05.2005, 21:41

etzwane

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ungern ...
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}-1,5^x*(ln(1,5))^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1,5^x*(ln(1,5))^2=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,5^x=\frac{2}{3}\frac{1}{(ln(1,5))^2}=A \end{eqnarray*}$
ich würde hier jetzt den Zahlenwert für A=..... ausrechnen, weil die Darstellung immer aufwendiger wird ...
Damit weiter
$\begin{eqnarray*} x\cdot ln(1,5)=ln(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln(A)}{ln(1,5)}=...... \end{eqnarray*}$

24.05.2005, 21:50

wochse

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danke
Hat geklappt. Supervielen Dank! smile

smile

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