Aufstellen einer Rekursionsformel anhand einer Gleichung. (Cauchy Produktreihen?)

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Asgaroth Auf diesen Beitrag antworten »
Aufstellen einer Rekursionsformel anhand einer Gleichung. (Cauchy Produktreihen?)
Gleich noch eine Frage bzw Aufgabe:

Zu einer gegebenen Folge () mit ist eine Folge () gesucht, die

erfüllt. Man gebe eine Rekursionsgleichung für () an.

2. Man überprüfe die Rekursionsformel, indem man () für die Folge () mit für alle n berechnet.
(Hinweis: Der binomische Lehrsatz, angewandt auf ,könnte hilfreich sein.)

Hat irgendjemand ne idee wie ich das machen soll? ist die inverse zu oder so oder?

MfG Asgaroth
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar geht es hier um Cauchy-Produktreihen: Hinreichend für



mit ist die absolute Konvergenz der beiden Ausgangsreihen. Das auf deine Potenzreihen angewendet, und Koeffizientenvergleich mit der "Potenzreihe" 1 ergibt eine Rekursionsformel für die .
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufstellen einer Rekursionsformel anhand einer Gleichung.
Mit

und ebenso

folgt für das Produkt

könnte man durch Koeffizientenvergleich bei gegebenen a_n die c_n ermitteln.
Ob man dadurch auch eine Rekursionsformel für die c_n findet, sollte die weitere Rechnung zeigen.
Asgaroth Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre das dann



bzw.


und wie komme ich von da dann auf eine Rekursionsformel?!?

Edit:
Also hab grad gesehen dasdie Formel oben wohl nicht stimmt, es müsste dann heissen...
aber wie komm ich da jetzt an ne rekursion? bin echt am verzweifeln....
Wenn man aus der zweiten Formel c_n herauszieht hat man

c_n = dadurch werden für die berechnung von c_n ja die werte c_n-1 ... c_n-n benutzt was ja einer Rekursion entspricht oder?
Aber da meine Formel oben ja falsch war müsste da ja jetzt noch ein irgendwie hin oder???

Bitte helft mir *sfz*!
MfG Asgaroth


Allerdings ist das ja alles irgendwie Schwachsinnig wenn sowieso alle Werte von n=0 bis oo ausgerechnet werden? wieso sollte man dann einen speziellen c_n Wert rekursiv berechnen? Oder meint ihr es reicht so wie ich es hab?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das wäre es nicht!! Es wäre



Das ist eine Potenzreihe. Und da die Summe einer Potenzreihe ihre Taylorsche Entwicklung ist, müssen trivialerweise alle Faktoren der für stets 0 sein. Somit bekommst du die Bedingungen



für alle . Damit hast du dann deine Bedingungen! Augenzwinkern

Gruß MSS
Asgaroth Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte extra neu gepostet weil der Beitrag sonst ja nicht als neu markiert wird.
Sorry....
Achja und danke für deine antwort. Kann ich da dann einfach also rausziehen und dann nachauflösen?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Asgaroth
Hatte extra neu gepostet weil der Beitrag sonst ja nicht als neu markiert wird.

Naja, das bezeichnen wir hie mehr oder weniger als Pushpost! Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mathespezialschüler


für alle

Das ist die Beziehung, die du brauchst. Damit wird nämlich



und somit



Aus kannst du ja jetzt wohl in Abhängigkeit von bestimmen!

Für n=1 bedeutet



ja einfach



Da du schon bestimmt hast, kannst du jetzt bestimmen. Danach geht das ganze Spielchen mit n=2 usw., je nachdem wie viel man braucht ...

Gruß MSS
Asgaroth Auf diesen Beitrag antworten »

So... hab da jetzt mal dran rumgefrickelt und meine das es so stimmt:



Stimmt das dann? Das wäre ja eine Rekursionsformel für c_n und es werden die werte c_n-1 .... c_n-n benutzt...

MfG Asgaroth
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, aber die Klammer um die Summe hatte ich weggelassen, das Minus-Zeichen vor dem Bruch geschrieben, und das n! in die Summe gebracht und dann noch etwas umgeformt, Stichwort Binomialkoeffizient.
Asgaroth Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja ist klar... also:


bzw.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

oder so:




Übrigens kannst du auch einfacher schreiben: {n \choose k}
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