Sherman-Morrison-Formel

24.05.2005, 12:59	silver	Auf diesen Beitrag antworten »
Sherman-Morrison-Formel Hallo, ich hab folgende Matrizen gegeben: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1}=\begin{pmatrix} -3 & 5 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll nun die Inverse von B mit der Sherman-Morrison-Formel bestimmen. Wie geht das ? Gruß
24.05.2005, 15:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Formel richtig interpretiere, dann gilt mit einer invertierbaren $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -reihigen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -reihigen Spalten $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ (der Strich bezeichne das Transponieren) $\begin{eqnarray} (A+uv')^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1+v'A^{-1}u} A^{-1}uv'A^{-1} \end{eqnarray}$ Und jetzt wähle $\begin{eqnarray} u = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \, , \ \ v= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann gilt mit deinen Matrizen: $\begin{eqnarray} B = A+uv' \end{eqnarray}$ , so daß die Formel angewendet werden kann. $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ habe ich nach Berechnung von $\begin{eqnarray} B-A \end{eqnarray}$ durch Probieren gefunden (liegt auf der Hand).
24.05.2005, 16:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei das "Probieren" nur deshalb erfolgreich sein konnte, weil die für die Anwendung dieses Procedere notwendige Bedingung rang(A-B)=1 erfüllt ist.
24.05.2005, 21:08	silver	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine Antwort Leopold, hab das durchgerechnet und bin auch auf das richtige Ergebnis gekommen. Ich hab aber noch eine Problem. In unserer Vorlesung hatten wir diese Formel einen kleinen wenig anders: $\begin{eqnarray} B^{-1} = A^{-1} + \alpha \left(A^{-1}u \right) \left( v^T A^{-1} \right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \equiv \frac{1}{1-v^T A^{-1} u} \end{eqnarray}$ Der Unterschied sind also nur zwei Zeichen (plus statt minus vor alpha und minus statt plus in der alpha-Gleichung) , welche das Ergebnis aber natürlich verfälschen. In dem Buch von diesem Prof ist diese Formel genauso geschrieben. Warum gibt es diese zwei Versionen? Und zu Arthur Dent wollte ich noch sagen, das ich das Kommentar nicht verstanden habe. Könntest du das noch mal genauer erklären, würde mich riesig freuen Gruß
24.05.2005, 21:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du noch mal genau in deine Vorlesungsmitschriften schaust, wirst du feststellen, dass bei euch das B durch $\begin{eqnarray} B=A-uv^T \end{eqnarray}$ beschrieben ist. Bei Leopold oben steht dagegen "+" statt "-", das erklärt den formalen Unterschied der Formeln. Meine Bemerkung zielt lediglich darauf ab, dass jede Matrix der Form $\begin{eqnarray} uv^T \end{eqnarray}$ mit Nicht-Nullvektoren u,v den Rang 1 hat - aber auch die Umkehrung gilt: Jede Matrix vom Rang 1 lässt sich derart zerlegen. Und die Differenz $\begin{eqnarray} A-B \end{eqnarray}$ muss ja im vorliegenden Fall genau diese Struktur haben, sonst ist die Sherman-Morrison-Formel nicht anwendbar.
24.05.2005, 21:49	silver	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, hab nochmal in der Vorlesung bzw. in dem dazugehörigen Buch nachgeschaut und siehe da, - statt + :-) Der andere Gedanke ist mir jetzt auch klar geworden freu
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22.05.2007, 13:27	chris21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab auch eine Aufgabe für die Sherman/Morrison Formel Ich habe folgende Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 &0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe die Inverse dieser Matrix bereits mit dem Verfahren von Leverrier berechnet. Die Inverse dazu existiert allerdings nicht. Ich frage mich nun wie die Inverse mit der Sherman/Morrison Formel berechnen soll ohne eine zweite Matrix zu haben

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