Rechteck im Halbkreis - Extremwertaufgabe

Neue Frage »

rain4higado Auf diesen Beitrag antworten »
Rechteck im Halbkreis - Extremwertaufgabe
Hallo Leute, ich bins mal wieder und diesmal gehts um Extremaufgaben:

Die Frage lautet:
Ein Halbkreis soll ein Rechteck mit möglichst großen Flächeninhalt enthalten. Die Rechteckseite a liegt auf d, also auf den Durchmesser, des Halbkreises:
Gesucht ist das Verhältnis der Rechteckseiten

Hauptbedingung ist dann wohl: A=a*b ??
Aber was muss ich wie und warum rechnen, und was ist die Nebenbedingung?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen,

LG, Chrissy.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck im Halbkreis Problem?!
Hi,

Die HB stimmt, die NB gewinnst du mittels Pythagoras aus dem rechtwinkeligen Dreieck, das der Radius r mit der halben Länge und der Breite des Rechteckes bildet.

Das Ziel ist es, in der Hauptbedingung auf nur noch eine Variable zu kommen (Zielfunktion), damit du nach dieser Var. ableiten und die 1. Ableitung Null setzen kannst. Mit der 2. Ableitung ist auf das Exremum zu prüfen.

d = 2r .. r Radius d. Halbkreises
Wenn du die Länge des Rechteckes 2a setzt, lautet die

HB: A = 2ab und die NB wird dann einfacher: a² + b² = r²

Reicht dir das mal vorerst zum alleinigen Weiterrechnen?

[Kontrollergebnisse: a = b = r/sqrt(2), Max., A = r², Seitenverhältnis 2:1]

Gr
mYthos
rain4higado Auf diesen Beitrag antworten »

Jau, ich glaub schon. Damit werd ichs mal versuchen. Vielen Dank schonmal dafür.
Mal schaun ob ichs auch rauskriege!

Wenn dieses Forum nicht wäre... Gott

LG, Chrissy
rain4higado Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, also ich hab jetzt mal versucht das zu berechnen, aber irgendwie klappt das nicht so.
Wie kommst du auf 2a ?? verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Länge des Rechteckes kannst du ja beliebig benennen und weil du sie nachher für das rechtwinkelige Dreieck halbieren musst, nenne sie, damit die Rechnung einfacher wird, 2a, die Breite ist b. Im rechtwinkeligen Dreieck tritt nun waagrecht a, senkrecht b und als Hypotenuse r auf, daher ist

a² + b² = r² .. NB

Die Fläche A (HB) ist mit dieser Angabe:

A = 2ab

Nun setzt du von der NB eine Größe ein, z.B.





Den (positiven) Faktor 2 kannst du weglassen, weil sich dadurch die Stelle des Extremwertes nicht ändert (1. Vereinfachung der Ansatzfunktion: Positive konstante Faktoren, die die GANZE Funktion betreffen, können vor dem Ableiten weggelassen werden, dazu gehören natürlich auch konstante Nenner bei Brüchen).

Danach kannst du noch die ganze Funktion quadrieren, weil sich auch dadurch die Extremstelle nicht ändert (2. Vereinfachung der Ansatzfunktion, die Quadratwurzel hat positives Vorzeichen)

Die vereinfachte Funktion lautet dann:




Nun die 1. und 2. Ableitung nach a bilden,
1. Abl. Null setzen -> a = .. , -> b = a
Vorzeichen der 2. Ableitung ist negativ, daher Max.

Da b = a ist und das Rechteck die Länge 2a hat, ist das Seitenverhältnis einfach 2 : 1

Gr
mYthos
schapp Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe heute die gleiche aufgabe lösen müssen, habe die 1. Ableitung =0 gesetzt und a=0 heraus. kann das sein? heisst das dann, dass a=b ist?
 
 
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

eine Lösung für a ist sicherlich 0, aber nicht die richtige.

wenn a 0 wäre hieße das nicht, dass a=b unglücklich Nebenbedingung!

Wie lautet deine 1. Ableitung?
schapp Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort!

ich habs aber selbst rausgekriegtsmile
hatte nur nicht gesehen dass man was ausklammern kann!

trotzdem nochmal danke!
greenfish Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck im Halbkreis Problem?!
wieso nimmt man als HB nicht einfach a*b wieso 2ab ???
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst ist nach Annahme A = 2ab. Im Zuge der Vereinfachung der Ansatzfunktion kann 2 dann weggelassen werden. Steht alles im Text.

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.

mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »