Vektorrechnung: Schnittverhalten von Geraden

24.05.2005, 16:40

rainbow

Vektorrechnung: Schnittverhalten von Geraden

Hab ne Frage dazu.
Wenn ich zwei Geraden in der Parameterform gegeben habe und direkt sehe, dass die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, dann weiß ich doch, dass sie weder einen Schnittpunkt haben, noch windschief sein können, richtig?
Und muss ich dann, um rauszufinden ob sie parallel oder identisch sind, das Gleichungssystem unbedingt lösen?
Könnte ich nicht auch einfach schauen ob die beiden Stützvektoren linear abhängig sind? Wenn ja = identisch, wenn nein = parallel ?! (würd ich jetzt sagen)

Stimmt das so?

Liebe Grüße

24.05.2005, 18:50

Fassregel

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RE: Vektorrechnung: Schnittverhalten von Geraden
Nein, das reicht leider nicht.

Aus der linearen Abhängigkeit geht doch nix über die Länge hervor, du musst das Gleichungssystem aber nicht unbedingt lösen, das geht auch eleganter. Stichwort Punktprobe...

24.05.2005, 19:30

JochenX

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RE: Vektorrechnung: Schnittverhalten von Geraden
tatsächlich kann man in einigen spezialfällen mit den stützvektoren argumentieren, aber nicht so einfach, wie du dir das machst.

sind sie nicht nur linear abhängig, sondern sogar identisch, dann hast du schon gewonnen und die geraden sind identisch.

sind sie linear abhängig, aber nicht identisch, so kannst du folgendes feststellen:
ist der zugehörige richtungsvektor auch noch linear abhängig mit ihnen (mit einem von ihnen) so haben wir identsiche ursprunsggeraden.
ist der richtungsvektor nicht linear abhängig mit ihnen, so sind die geraden unterschiedlich, aber parallel.

mach dir das an einer skizze klar.

24.05.2005, 20:44

bounce

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hey schließe mich den anderen an aber würde noch sagen wenn du halt ein r findest was die Richtungsvektoren linear abhängig machen das sind die Geraden parallel und dann nimmst du halt ein punkt von der einen Geraden und machst eine Punkt probe mit der anderen und schaust so ob sie auch identisch sind smile

hier nochmal nen beispiel

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} <br /> <br /> h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 2 \\2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. 4 = 2t
2. 4 = 2t
3. 4 = 2t

> r=2 d.h Geraden parallel

hoffe es ist zu verstehen ^^ gruss

meno komme mit dem formeleditor net klar smile

25.05.2005, 09:10

JochenX

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Zitat:

meno komme mit dem formeleditor net klar

benutze keine "enter" im tex, das gibt diese hässlichen </br>
verwende für zeilenumsprünge \\ oder wie ich es immer mache, schließe den tex, mache normalen zeilenumsprung, öffne neuen tex

25.05.2005, 15:03

bounce

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ah ok danke Loed werd es nächste mal machen ^^

gruss bounce

28.05.2005, 23:07

rainbow

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Erst mal vielen Dank für die Antworten!

Zitat:

Original von bounce
hey schließe mich den anderen an aber würde noch sagen wenn du halt ein r findest was die Richtungsvektoren linear abhängig machen das sind die Geraden parallel und dann nimmst du halt ein punkt von der einen Geraden und machst eine Punkt probe mit der anderen und schaust so ob sie auch identisch sind smile

Hmm ich verstehe nicht ganz wo das 4 = 2t herkommt.

Also noch mal, mal gucken ob ich es verstanden hab:
Angenommen ich habe rausgefunden, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind (bräuchte hier den von der Geraden h ja nur mit zwei multiplizieren), dann könnte ich Zb den Punkt (1/2/3) von der Geraden g in h einsetzen; ist das Gleichungssystem lösbar (bzw. kriege ich allgemeingültige Aussagen!) sind die Geraden identisch. Ansonsten nur parallel.
Ist das richtig?

Ähm hab jetzt doch verstanden wo das 4 = 2t herkommt. ^^

Aber dann müssts heißten > t=2 und nicht r?! geschockt

[quote=LOED] tatsächlich kann man in einigen spezialfällen mit den stützvektoren argumentieren, aber nicht so einfach, wie du dir das machst.

[...]

sind sie linear abhängig, aber nicht identisch, so kannst du folgendes feststellen:
ist der zugehörige richtungsvektor auch noch linear abhängig mit ihnen (mit einem von ihnen) so haben wir identsiche ursprunsggeraden.
ist der richtungsvektor nicht linear abhängig mit ihnen, so sind die geraden unterschiedlich, aber parallel.

mach dir das an einer skizze klar. [/quote]

Die Punktprobe wäre dann quasi das Gleiche, nur dass ich da dann alles in Einem direkt überprüfe, oder?

Das mit der Skizze hab ich nicht hinbekommen...
... das Problem ist, dass das Rechnen in der Vektorrechnung meistens irgendwie hingehauen hat, aber ich mich nie um das Grundverständnis gekümmert habe. Also was das eigentlich alles bedeutet.
Ich kann mir zB unter linear abhängig nicht so wirklich was vorstellen..! Ich kann den einen Vektor durch den anderen ausdrücken, richtig? Heißt das, sie haben die selbe Richtung und nur unterschiedliche Längen oder wie genau??

Tut mir leid, wenn ich euch jetzt nerve verwirrt

:-(

lg!

29.05.2005, 01:05

phi

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Hab nich alles gelesen, schließe aber aus den (lin. abh.) Spaltenvektoren (4,4,4) und (2,2,2) das r=1 ist und 2t=4.

Skizze machst du so:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\\h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 2 \\2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

der jeweils 1. Vektor nennen wir A, den hinteren C. Um nun eine 2-Punkte-Gleichung zu bekommen addiere A+C, das Ergebnis nennen wir B. Bei der Graden g kann man den Punkt B so lassen (*1), Bei der Graden h ist 2B malzunehmen.

Am übersichtlichsten in 3d sind eine Ansicht von vorne, also die x,z-Ebene, und eine von der Seite, also die y,z-Ebene. Eine Spalte (1,2,3) ist ja (x,y,z).

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