Kronecker Nullstellensatz

24.05.2005, 23:45	Frez	Auf diesen Beitrag antworten »
Kronecker Nullstellensatz Hi zusammen, bin gerade beim Nullstellensatz von Kronecker (zu jedem Körper existiert Oberkörper mit Nullstelle), und komme auch klar, dass K[X]/(f) Körper ist und so, aber... Ich fürchte, ein dickes Brett verhindert gerade, warum denn nun eine Nullstelle existiert!?! mit dem kan. Epimorphismus pi: K[X] --> K[X]/(f), X -> X + (f) soll für f= a_0+...+a_nX^n gelten () f(pi(X)) = ... = pi(f) =0. Könnt ihr mir beim entbrettern von () helfen? warum kommt da 0 raus???
25.05.2005, 09:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten ein Beispiel. Über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist das Polynom $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ irreduzibel. Damit ist das von ihm erzeugte Ideal $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ maximal in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray}$ , folglich $\begin{eqnarray} \mathbb{C} = \mathbb{R}[X]/\mathfrak{a} \end{eqnarray}$ ein Körper. Die Restklassen $\begin{eqnarray} \bar{r} = r + \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ werden mit $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ identifiziert, wodurch $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ein Oberkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ wird. Sein Nullelement ist $\begin{eqnarray} \bar{0} = \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ , sein Einselement $\begin{eqnarray} \bar{1} = 1 + \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ , identifiziert mit den entsprechenden Elementen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Und jetzt betrachten wir nach Umbenennung der Unbestimmten in $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ erneut das Polynom $\begin{eqnarray} f(T) = T^2 + \bar{1} \end{eqnarray}$ . Dieses hat jetzt eine Nullstelle $\begin{eqnarray} \operatorname{i} = \bar{X} = X + \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ . Denn es gilt nach den Regeln für das Rechnen mit Restklassen: $\begin{eqnarray} f(\operatorname{i}) = \operatorname{i}^2 + \bar{1} = \left( X + \mathfrak{a} \right)^2 + 1 + \mathfrak{a} = X^2 + \mathfrak{a} + 1 + \mathfrak{a} = X^2 + 1 + \mathfrak{a} = \mathfrak{a} = \bar{0} \end{eqnarray}$ Beim vorletzten Gleichheitszeichen wird verwendet, daß $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ erzeugte Hauptideal ist. Dieses Beispiel zeigt, wie man in der Algebra abstrakt den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ aus dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ heraus konstruieren kann. Vor allem ist das Verfahren wegen seiner Abstraktheit auf andere Fälle übertragbar. Du kannst z.B. in der obigen Konstruktion statt $\begin{eqnarray} K = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auch den Körper $\begin{eqnarray} K = \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ mit drei Elementen nehmen. Auch in ihm ist $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ unzerlegbar. Und ganz wie oben findet man einen Oberkörper $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3(\operatorname{i}) \end{eqnarray}$ mit einem Element $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \end{eqnarray}$ , das Nullstelle dieses Polynoms ist. Du kannst dir ja einmal selbst überlegen, daß $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3(\operatorname{i}) \end{eqnarray}$ ein Körper mit neun Elementen ist, das sogenannte Galois-Feld der Ordnung 9: $\begin{eqnarray} \operatorname{GF}(9) \end{eqnarray}$ .
25.05.2005, 12:28	Frez	Auf diesen Beitrag antworten »
Jau, danke! Hab mir auch ein bsp genommen und dann gleich klarer gesehen: f=X^2+X+1 in F_2[X] und dann mal die vertrautere mod-schreibweise... F_2[X]/(X^2+X+1) = { 0 mod f, 1 mod f, X mod f, 1+X mod f } da # F_2 = 2 und grad f =2 hat F_2[X]/(f) eben obige vier elemente und f(X mod f) = [X mod f]^2+ X mod f +1 mod f =X^2+X+1 kongrúent 0 mod (X^2+X+1) also X mod f nullstelle in F_2[X]/(f). hat man dann die linearfaktoraufspaltung (mit X' für X mod f geschrieben) X^2+X+1 = (X-X') * (X+X'+1) ??? Danke!

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