Lineare Abbildung

25.05.2005, 13:48

Moeki

Lineare Abbildung

Zitat:

Für die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R^2 \Rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi (\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x - y \\ y - x \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ermittle man $\begin{eqnarray*} Ker \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} Ker \varphi = \{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 0. Denn das ganze ist nur "trivial" für x= 0 und y=0 lösbar. Dann folgt nach dem Dimensionssatz

$\begin{eqnarray*} Dim f(V) = DimV - DimKer\varphi \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} Dimf(V) = 2 \end{eqnarray*}$

Eine Basis des Bildraumes ist.

$\begin{eqnarray*} B = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Ich habe das jetzt stur nach einen anderen Beispielaufgabe durchgerechnet, kann aber weder kontrollieren, ob meine Lösung richtig ist noch diese erklären. Insbesondere was ich mit der Basis anfangen kann. Kann das jemand von euch Wink

25.05.2005, 14:03

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung
Die Basis des Bildraums hast du offensichtlich erhalten, indem du phi(1,0) und phi(0,1) berechnet hast. Da der Kern = (0,0) ist, sind die Bilder der Basis von V automatisch eine Basis von f(V). Soweit klar?
Sind v1 und v2 Basisvektoren von V und v aus V ein beliebiger Vektor, also v = a1*v1 + a2*v2, dann ist f(v) = a1*f(v1)+a2*f(v2). Die Koordinaten des Bildes f(v) sind also identisch mit den Koordinaten des Urbildes v.

27.05.2005, 12:11

Moeki

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Ist die Basis des Bildraums = $\begin{eqnarray*} \varphi (\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ . Wie schreibe ich das dann in mathematisch korrekter Form hin?

28.05.2005, 12:17

klarsoweit

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Eine Basis des Bildraums hast du oben schon angegeben. Ich würde dann so schreiben:
Im(phi) = span(B)
wobei Schreibweisen sind auch immer eine Vereinbarungssache.

31.05.2005, 11:35

Moeki

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Irgendwie verstehe ich die Zusammenhänge net, trotz Besuch der Vorlesung und der Übung. Gibt es zu dem Thema informative Seiten im Internet?

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Lineare Abbildung

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