Orthonomiertes Vektorensystem

25.05.2005, 14:10

Moeki

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Orthonomiertes Vektorensystem

Zitat:

Man überprüfe die lineare Unabhängigkeit des Systems $\begin{eqnarray*} B = \{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ von Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und berechne aus B ein orthonormiertes Vektorensystem.

Der Rang entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren einer Matrix.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} rg = 3 \end{eqnarray*}$ Also haben wir 3 linear unabhängige Vektoren und somit die lineare Unabhängigkeit des Systems.

Man wendet das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren an und macht den Ansatz

$\begin{eqnarray*} e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} , e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Gleichung wird $\begin{eqnarray*} \lambda = - \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ unter Beachtung der Orthogonalität ermittelt. Durch Einsetzen dieses Wertes für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ berechnet man so $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ . Der Ansatz $\begin{eqnarray*} e_3 = a_3 + \lambda e_2 + \mu e_1 \end{eqnarray*}$ gestattet unter Berücksichtigung der paarweisen Orthogonalität die Berechnung von $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ . Aus den ermittelten paarweise orthogonalen Vektoren erhält man nach Division durch den Betrag Einheitsvektoren.

Auch diese Lösung habe ich stur nach einem Beispiel nachgerechnet, kann aber weder den Lösungsweg noch die Zusammenhänge erklären. Ist denn die Lösung bzw. der Ansatz überhaupt richtig?

Danke, Moeki. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2005, 00:34

JochenX

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} e_3 = a_3 + \lambda e_2 + \mu e_1 \end{eqnarray*}$

was ist denn a3? ist das der 3. vektor deiner basis?

ich kenne orthogonalisierungsverfahren nach gram schmidt so, falls dir das etwas bringt.

27.05.2005, 11:47

Moeki

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$\begin{eqnarray*} e_1 = a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_2 = a_2 + \lambda e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = - \frac {\varphi(a_2,e_1)}{\varphi(e_1,e_1)} = - \frac {(1 0 2)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{(2 1 0)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = -\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{2}{5} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac {1}{5} \\ - \frac {2}{5} \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_3 = \lambda e_1 + \mu e_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{e_3} = \frac {\varphi(a_3,e_1)}{\varphi(e_1,e_1)} = - \frac {(1 0 0)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{(2 1 0)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = -\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu_{e_3} = \frac {\varphi(a_2,e_1)}{\varphi(e_1,e_1)} = - \frac {(1 0 2)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{(2 1 0)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = -\frac{1}{21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{2}{5} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac {1}{21} \begin{pmatrix} \frac {1}{5} \\ - \frac {2}{5} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac {4}{21} \\ - \frac {8}{21} \\ - \frac {2}{21} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt also meine paarweise orthogonale Vektoren $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray*}$

Nach Division durch den jeweiligen Betrag erhalte ich die Einheitsvektoren und somit die orthogonalisierte Basis?

$\begin{eqnarray*} B' = \{ \frac {1}{\sqrt 5} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt \frac{21}{5}} \begin{pmatrix} \frac {1}{5} \\ - \frac {2}{5} \\ 2 \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt {\frac{4}{21}}} \begin{pmatrix} \frac {4}{21} \\ - \frac {8}{21} \\ - \frac {2}{21} \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Ich habe das jetzt 20 Minuten in Latex eingehakt. Also sagt mir bitte nicht, dass das Falsch ist. verwirrt

verwirrt

Danke für eure Hilfe.

27.05.2005, 13:54

Tovok7

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RE: Orthonomiertes Vektorensystem
Wenn man $\begin{eqnarray*} a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ waehlt, muesste eigentlich die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ herauskommen, oder?

31.05.2005, 11:35

Moeki

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aber ich muss doch aus B ein orthonomiertes vektorsystem bilden, da kann ich mir doch nicht einfach irgendwelche vektoren ausdenken.

verwirrt

verwirrt

31.05.2005, 13:40

yeti777

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Hallo Moeki,

du bist auf dem richtigen Weg Freude

Freude

. Die Vektoren 1 und 2 sind richtig. Allerdings steckt in Vektor 3 noch ein Fehler (Schreibfehler oder Rechenfehler verwirrt

verwirrt

).

Da du doch schon viel Energie in die Aufgabe gesteckt hast, begehe ich hoffentlich kein "Verbrechen", wenn ich dir auf die Sprünge helfe. Der zu den zwei ersten Vektoren orthogonale, aber noch nicht normierte Vektor muss lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{4}{21} \\ \frac{-8}{21} \\ \frac{-2}{21} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du noch normieren, was ich dir überlasse.

Gruss yeti

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01.06.2005, 12:56

Moeki

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Vielen Dank. Den Rechenfehler habe ich gefunden.

Also ist der Ansatz von Tovok (Standardbasis des R^3 ) falsch?!

01.06.2005, 17:54

Kieni

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Also ich weis nicht, was ihr da rechnet, aber bei mir kommt mit diesem Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt (oder so ähnlich), einfach B={(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)} heraus, so wie Tuvok gesagt hat. Ich muß mir das nochmal anschauen, wo bei Dir diese spektakulären Brüche und Wurzeln herkommen. verwirrt

verwirrt

Gruß Kieni

01.06.2005, 18:00

JochenX

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es gibt ja mehrere verschiedene orthogonale basen....
fang doch mal deinen gramschmidt mit einem anderen der 3 vektoren an....

01.06.2005, 18:10

Kieni

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Ja das ist mir schon klar, aber wie ich das bisher so mitbekommen habe dachte ich immer Ihr Mathmatiker seit Freunde von eleganten Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also setzt man am besten immer den einfachsten Vektor = e1, also in diesem Fall (1,0,0), der ist sogar schon normiert ^^

01.06.2005, 18:12

JochenX

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aber nicht bezüglich jedem skalarprodukt stehen die einheitsvektoren senkrecht.
sollst du ein beliebiges ONS zum IR^n angeben bzgl standardskalarprodukt, hast du natürlich recht....

01.06.2005, 18:28

Kieni

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Nagut, Du hast gewonnen! Gott

Gott

Hät ich bloß nichts gesagt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ich denke hier geht es um DEN R^3 mit Standartskalarprodukt. War zumindest kein anderes SKP angegeben. Also wirds schon in Ordnung gehen, hoffe ich.

01.06.2005, 18:30

JochenX

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Zitat:

und berechne aus B

aber wenn solche kleinen feinheiten da stehen, solltest du für dein gramschmidt auf jeden fall die vektoren aus B nehmen...
wenn das funktioniert, wenn du mit dem dritten anfängst, dann glückwunsch!

01.06.2005, 19:09

Moeki

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halten wir also fest, dass es mehrere orthonomierte systeme gibt und ich aufgrund des großen aufwandes und ich weil ich nicht den leichtesten weg gegangen bin zusatzpunkte bekomme. Wink

Wink

der rechenweg bleibt der gleiche, nur das man unterschiedliche vektoren wählt.

01.06.2005, 19:11

JochenX

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Zitat:

und ich aufgrund des großen aufwandes und ich weil ich nicht den leichtesten weg gegangen bin zusatzpunkte bekomme

wenn du gerade noch in der 3. klasse bist, dann bekommst du vielleicht einen fleißsticker smile

smile

02.06.2005, 06:39

Moeki

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zumindestens über ein

http://www.raizinn.de/Bienchen%20mit%20Eimer.jpg hätte ich mehr sehr gefreut.

02.06.2005, 10:01

JochenX

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Freude

wie wäre es mit anonymer email an die person, die deine übungsblätter korrigiert?
dies hier verlinken und mal schauen, was sich machen lässt.......

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