Äquivalenz von Normen

Neue Frage »

oldwise Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Normen
Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe und weiß damit absolut nichts anzufangen:

Bestimmen Sie die kleinsten Konstanten mit denen für alle gilt:




ähm verwirrt also hier stehe ich total auf dem Schlauch und weiß nicht was ich tun soll! Ich weiß das es etwas mit der Äquivalenz von Normen zu tun hat (oder auch nicht).

Bitte um Hinweise!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Im endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent, d.h., es gibt solche Konstanten auf jeden Fall. Es hilft viel, wenn du dir erstmal darüber klar wirst, was die Niveaulinien/-flächen geometrisch bedeuten, zumindest für die Dimensionen n=2 und n=3 (n=1 ist trivial). Unten sind diese Linien für den Fall n=2 und C=1 zu sehen. Und nun ist zu bestimmen, wie weit man die Quadrate/Kreise "strecken/stauchen" muss, damit die anderen Quadrate/Kreise "gerade noch" hineinpassen. Das ganze kann man natürlich auch algebraisch abschätzen, aber die geometrische Anschauung dessen, was hier passiert, ist auf jeden Fall nicht verkehrt... Augenzwinkern
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

ah Idee! sehr gut! vielen dank!

Bei deinem Beispiel gehst du von konkreten Werten (z.Bsp. ) aus. Jedoch ist das bei meiner Aufgabe nicht. Wie kann ich da die Konstanten bestimmen?

Ich weiß, dass ich z.Bsp. die erste Zeile auch zusammenfassen kann in:



Hilft mir das? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beschränkung auf Normwerte 1 ist ausreichend, da es zu jedem x mit ein x' mit x=Cx' und gibt (Norm-Eigenschaft im Vektorraum).

Falls dir algebraische Abschätzungen eher liegen, dann schau dir die Höldersche Ungleichung
http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6ldersche_Ungleichung
näher an, hier reicht wahrscheinlich der Spezialfall p=q=2, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Das ist die eine Seite der Abschätzungen; die andere kriegt man durch grob anmutende Abschätzungen der Form



mit geeignet gewählten hin.
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich denn überhaupt konkrete Werte angeben? zBsp. Wie könnte ich beweisen, dass es keine kleineren Konstanten gibt? ... so richtig hat's bei mir noch nicht klick gemacht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich verrate mal die Koeffizienten - beweisen solltest du die zugehörigen Ungleichungen aber dann selbst, z.B. mit den Mitteln die ich oben genannt habe:
, und .

Und dass diese Werte nicht verkleinert werden können, zeigt man durch Angabe konkreter Punkte , wo Gleichheit in den Abschätzungen herrscht.
 
 
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mir jetzt probeweise folgendes gedacht:



mit

auf den übertragen steht dann:



und damit das "=" erfüllt ist folgt daraus, dass nicht kleiner als 1 sein darf und somit ist die kleinste Konstante für die das gilt.

Ist das richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern des Beweises steckt hier:

Zitat:
Original von oldwise

und da vermisse ich schon eine gewisse Begründung, warum diese Ungleichung gelten soll.

Und dass es kein geben kann, sieht man am besten an einem Beispiel wie etwa .
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das habe ich mir auch gedacht. Das würde ich mit der Hölder-Ungleichung begründen:



Vielen Dank erstmal, dass du mir versuchst die Sache näher zu bringen! Mit Zunge
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wohl gründlich danebengegangen: Deine Vorgehensweise, also Hölder mit p=q=2 (entspricht CSU) und , richtig eingesetzt ergibt

,

damit hat man nichts gekonnt, da auf beiden Seiten dasselbe steht... Dagegen liefert die CSU mit :

,

also . So kommt man auf .


Das kriegt man nicht mit Hölder, sondern durch

,

also .
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »