Zusammengesetzte Aufgabe zur Vektorrechnung

25.05.2005, 20:16

SkYfiGhTeR

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Zusammengesetzte Aufgabe zur Vektorrechnung

Hallo,

es geht um die zusammengesetze Aufgabe (verschiedene Anwedungen zur Vektorrechnung) im Anhang.

Einiges habe ich schon und bei manchem noch die eine oder andere Frage *g*.

Zur Aufgabe a):

Parametergleichung der Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix}-0,5\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalengleichung der Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E_1: [\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Zur Aufgabe b):

Habe $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und die Schnittgerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}+ s*\begin{pmatrix}-1,5\\-1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Wie ist nun da genau die "relative Lage zueinander" ? Sie schneiden sich eben, fertig oder? *g*

Und zwar unter dem Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \gamma=27,26° \end{eqnarray*}$ bzw. bei zwei Ebenen muss ich das ja von 90° abziehen oder? Also wäre es dann $\begin{eqnarray*} \alpha=62,74° \end{eqnarray*}$ . (?)

Zur Aufgabe c):

Hier habe ich einfach mal die Parameterform und Normalenform der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ aufgestellt und dann die Gerade h in $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ eingesetzt und dann eine Schnittgerade erhalten. Ich weiß nun nur nicht, ob das schon alles ist um zu zeigen, dass die Geraden h in allen Ebenen der Ebenenschar liegen?!

$\begin{eqnarray*} E_a: [\vec{x}-\begin{pmatrix}3-a\\0\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}1\\a-3\\a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann h eingesetzt ergibt die Schnittgerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\begin{pmatrix}a\\0\\-2a\end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix}-6\\-4a+12\\4a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jo, erstmal bis dahin...wäre schon wenn mir da jemand Bestätigung bzw. Berichtigung/Hilfe geben könnte, wenn noch was nicht stimmt bzw. halt zu meinen Fragen.

Die anderen Aufgaben habe ich z.T. auch schon und die schreibe ich dann sobald das geklärt ist, sonst wird's mir zu unübersichtlich. *g*

26.05.2005, 00:46

JochenX

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Zitat:

Und zwar unter dem Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \gamma=27,26° \end{eqnarray*}$ bzw. bei zwei Ebenen muss ich das ja von 90° abziehen oder? Also wäre es dann $\begin{eqnarray*} \alpha=62,74° \end{eqnarray*}$ . (?)

was wieso?
du kannst es alternativ noch von 180° abziehen, denn es gibt ja zwischen 2 ebenen, die sich schneiden, immer 2 winkel.#

wie also kommst du auf 90°?

26.05.2005, 07:42

SkYfiGhTeR

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Hallo,

hm...ja habe ich mich auch irgendwie gefragt..nur hatte ich was im Kopf, dass beim Schnittwinkel zweier Ebenen von 90° abgezogen werden müsse...aber das kann nicht wirklich sein.

Gibt's da aber nicht irgendeinen Fall, wo man von 90° abziehen muss?

Aber stimmt, habs mir hier nochmal überlegt und von 90° abziehen ist natürlich nicht richtig.

Also $\begin{eqnarray*} \alpha=152,74 \end{eqnarray*}$ .

War der Rest ok? *g*

26.05.2005, 11:16

JochenX

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a) sollte passen
b) passt
WINKEL habe ich nicht nachgerechnet, kann ich noch tun
einfach den winkel zwischen den normalenvektoren bestimmen
c) einfach deine gerade in eine beliebige ebene (mit a) einsetzen, hebt sich alles toll weg

26.05.2005, 15:27

SkYfiGhTeR

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Hallo,

jep alles klar. Winkel zwischen den Normalenvektoren habe ich bei der b) ja gemacht. Dürfte auch stimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ehm zur Aufgabe c), wenn ich da meine (Schnitt-)Gerade die ich da rausbekommen habe in die Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ oder auch in eine bestimmte Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ z.B. einsetze, dann fällt da nicht alles raus, sodass es 0=0 oder so gibt...da bleibt was stehen mit a's und a² und t usw. *g*

26.05.2005, 16:03

riwe

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hebt sich schon alles weg!
versuche es noch einmal
werner

n.s. heute spinnt der server total!

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26.05.2005, 16:45

SkYfiGhTeR

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Hallo,

also irgendwie bei mir immernoch nicht. Grummel....also:

$\begin{eqnarray*} E_a: 2*x+(a-3)*y+a*z=6-2*a \end{eqnarray*}$

So, da setze ich jetzt ein für:

$\begin{eqnarray*} x=a-6t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0-4at+12t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=-2a+4at \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2*(a-6t)+(a-3)*(-4at+12t)+a*(-2a+4at)=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a-12t-4a^{2}t+12at+12at-36t-2a^{2}+4a^{2}t=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2a^{2}+4a-48t+24at-6=0 \end{eqnarray*}$

Hm...wo ist da nun mein Fehler ? *g*

26.05.2005, 17:07

Poff

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR

Zur Aufgabe c):

Hier habe ich einfach mal die Parameterform und Normalenform der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ aufgestellt und dann die Gerade h in $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ eingesetzt und dann eine Schnittgerade erhalten. Ich weiß nun nur nicht, ob das schon alles ist um zu zeigen, dass die Geraden h in allen Ebenen der Ebenenschar liegen?!

c)
keine Ahnung was du hier umständliches rechnest ?

(-6;-4;4) * (2;a-3;a) = 0

das ist ALLES was es dazu braucht

26.05.2005, 17:17

Poff

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... und (vergessen)

(3;0;-2) in Ea, dh.: (3;0;-2) * (2;a-3;a) = 6-2*a

26.05.2005, 19:57

SkYfiGhTeR

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Hallo,

achsooo...ja na klar.

Wenn ich direkt die Gerade h, welche in der Aufgabe c) gegeben ist in die Ebenenschar einsetze, kommt natürlich 0=0 raus, da hebt sich alles raus - richtig.

Nur ich hatte in meinem Beitrag oben zwischen der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ und der Gerade h die Schnittgerade g ausgerechnet.

Und dann habe ich nachdem hier

Zitat:

Original von LOED
c) einfach deine gerade in eine beliebige ebene (mit a) einsetzen, hebt sich alles toll weg

gedacht, dass ich meine Schnittgerade g in die Ebenenschar einsetzen soll, weil da kommt nicht 0=0 raus.

D.h. ich benötige gar keine Schnittgerade, sondern muss einfach nur die Gerade h mit der Ebenenschar gleichsetzen bzw. die Gerade dort einsetzen und da 0=0 (wahre Aussage) rauskommt, heißt das, dass die Geraden h in allen Ebenen der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ liegen ?

26.05.2005, 20:49

Poff

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Wenn ich direkt die Gerade h, welche in der Aufgabe c) gegeben ist in die Ebenenschar einsetze, kommt natürlich 0=0 raus, da hebt sich alles raus - richtig.

was heißt natürlich 0=0 raus ... ??

Ich kann dieser Argumentation nicht folgen, weder versteh ich was für
eine Schnittgerade?? du ausrechnest, noch WARUM, oder wolltest
sagen, du hast versucht den Schnittpunkt auszurechnen und der ist
aber ne Gerade geworden ?? und das kann, du wirst lachen,
wenn überhaupt,

nur die Gerade h selbst wieder sein !!

Die Aufgabe c) verlangt den Nachweiß, dass h in allen Ebenen Ea liegt
und das ist mit:

(-6;-4;4) * (2;a-3;a) =? 0 und (3;0;-2) * (2;a-3;a) =? 6-2*a

KOMPLETT erledigt, mehr gibts da nicht zu tun,
und wenn das so 'natürlich ist', warum hast dann überhaupt
sonstwas gerechnet ?
.

26.05.2005, 23:17

SkYfiGhTeR

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Hi,

ja, das mit der Schnittgeraden war eben nichts, s. 1. Beitrag unter Aufgabe c), da habe ich die Gerade h in die Ebenenschar eingesetzt und diese Schnittgerade erhalten (1. Posting). Aber ist ja auch egal, das ist ja nix..

Naja, ich habe jetzt eben die Gerade h in $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ eingesetzt und dann hebt sich eben alles auf:

$\begin{eqnarray*} E_a=2x+(a-3)y+az=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix}-6\\-4\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} 2*(3-6t)+(a-3)*(-4t)+a*(-2+4t)=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6-12t-4at+12t-2a+4at=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

- - -

Zu Aufgabe d):

$\begin{eqnarray*} d(P, E_1)=\frac{1}{3}*[\begin{pmatrix}4\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(P, E_1)=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(Q, E_1)=frac{1}{3}*[\begin{pmatrix}-2\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(Q, E_1)=-3 \end{eqnarray*}$

Da der Abstand von Q zu $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ einen negativen Wert ergibt und der Abstand von P und $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ einen positiven Wert, liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten.

Korrekt?

- - - - -

Aufgabe e):

$\begin{eqnarray*} E_a=2x+(a-3)y+az=6-2a \end{eqnarray*}$

Ursprung: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*0+(a-3)*0+a*0=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} E_3: 2x+3z=0 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun überprüfen, ob es Ebenen der Schar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ gibt, die von der x-Achse orthogonal geschnitten werden?

Mit $\begin{eqnarray*} cos 90°=\frac{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$ wird das ja nicht wirklich was, da cos 90° ja 0 ergibt. Aber so ähnlich müsste ich das doch überprüfen können oder?

Danke schon mal für Hilfe..

27.05.2005, 00:33

Poff

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d)
d(P;E1) = 5 stimmt, für Q nicht nachgerechnet, aber falls Resultat
negativ, dann liegen sie auf versch. Seiten, richtig.

e1)
richtig

e2)
du musst prüfen ob ein Normalenvektor "parallel" x-Achse möglich ist.

27.05.2005, 08:50

riwe

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siehe e2) von poff, du mußt den SINUS nehmen (unterschied schnittwinkel gerade - gerade: cos(a) , ebene - ebene:cos(a) und ebene - gerade:sin(a) = cos(90 - a)!)
werner

27.05.2005, 12:13

SkYfiGhTeR

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Hallo,

und wie schaue ich, ob der Normalenvektor parallel zur x-Achse sein kann?

So wie ich des gemacht habe mit Normalenvektor der Ebenenschar und dem Richtungsvektor der x-Achse?

Wenn ich das aber dann mache, mit sin (a), dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} a_{1/2} \end{eqnarray*}$ aber unter der Wurzel einen negativen Wert...verrechnet oder muss ich anderes vorgehen?

27.05.2005, 12:16

riwe

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nein, richtig gerechnet,
und was folgt daraus?
werner

27.05.2005, 12:25

SkYfiGhTeR

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Hm, na dass es keine Ebenen der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ gibt, die von der x-Achse senkrecht geschnitte werden. *g*

- - - - -

Zu der f), wie ist das denn da genau gemeint...also ich habe 'ne Idee wie ich es machen würde *g*. Und zwar die Gerade k mit der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und dann müssten eben die Parameter entfallen und dann schaue ich für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ es eine unwahre Aussage gibt und für diese Ebenen sind sie dann parallel. (?)

27.05.2005, 13:27

riwe

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richtig

zu f) wenn die gerade g echt (?) parallel zu E, was bedeutet das für den richtungsvektor von g und den normalenvektor von E bzw. deren skalarproidukt?
werner

27.05.2005, 14:33

SkYfiGhTeR

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Hallo,

hm...na ich müsste eigentlich nur schauen, ob der Richtungsvektor der Geraden k und die beiden Richtungsvektoren der Ebenenschar linear abhängig zueinander sind oder?

Bzw. das Skalarprodukt müsste dann ja eigentlich 0 geben oder zumindest der Winkel zwischen beiden müsste ja 0 oder 180° oder so sein, sonst ist es ja nicht parallell. *g*

27.05.2005, 15:32

riwe

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skalarprodukt(normalenvektor von E, richtungsvektor g) = 0 paßt
werner

27.05.2005, 15:50

Poff

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Hab nun nicht genau mitbekommen wie du e2) gelöst hast,
(sinus, steh ich gerade auf dem Schlauch)

eine einfache StandartVariante wäre auch, das Vektorprodukt
zw. EbenenNormalenV. und x-Achse zu bilden und damit aufzuzeigen
dass das stets von Null verschieden ist, oder

zu zeigen (2;a-2;a) = (k;0;0) für kein a lösbar.
.

27.05.2005, 15:57

SkYfiGhTeR

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Hallo,

habe ich über das Skalarprodukt gemacht was ich ein paar Beiträge vorher zu der Aufgabe e2) geschrieben hatte. Nur nicht mit cos (a) bzw. cos 90° sondern mit sin (a) bzw. sin 90°, da beim Schnittwinkel zw. Ebene/Gerade der Sinus genommen wird oder eben cos (90°-a).

- - -

Zur Aufgabe f):

Wenn ich hier das Skalaprodukt 0 setze, fällt der Nenner ja im Prinzip schon mal weg und dann steht nur noch:

$\begin{eqnarray*} 3a+9=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=-3 \end{eqnarray*}$

D.h. es wäre dann nur für die Ebene für a=-3 und sonst gibt es eben keine?

27.05.2005, 16:12

Poff

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hallo,

habe ich über das Skalarprodukt gemacht was ich ein paar Beiträge vorher zu der Aufgabe e2) geschrieben hatte. Nur nicht mit cos (a) bzw. cos 90° sondern mit sin (a) bzw. sin 90°, da beim Schnittwinkel zw. Ebene/Gerade der Sinus genommen wird oder eben cos (90°-a).

das ist aber nicht richtig was du schreibst, du hättest müssen zeigen

(...)*(...)/(|...|*|...|) = cos(Schnittwinkel) = 1 hat keine Lösung für alle a,

oder ich steh immer noch auf dem Schlauch.

f) richtig, es gibt nur diese eine

27.05.2005, 16:34

SkYfiGhTeR

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Zitat:

Original von Poff
(...)*(...)/(|...|*|...|) = cos(Schnittwinkel) = 1 hat keine Lösung für alle a,

Ja, siehe mein Skalarprodukt...da hatte ich es ja mit cos(Schnittwinkel), und da es ja um senkrecht bzw. orthogonal darauf geht, ist der 90°. Und cos (90°) = 0, wieso also da 1 ? Und dann stünde da, da der Nenner im Prinzip wegfällt, 0=2.

- - -

Edit: Zu Aufgabe g):

$\begin{eqnarray*} cos 45°=\frac{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

Oder müsste ich hier dann auch wieder den Sinus nehmen? Wobei es bei 45° ja sowieso gleich ist vom Wert her...aber trotzdem...(?)

Ich habe dann zumindest raus: $\begin{eqnarray*} a=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ ?

27.05.2005, 16:57

Poff

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und da es ja um senkrecht bzw. orthogonal darauf geht, ist der 90°.
Und cos (90°) = 0, wieso also da 1 ?

... siehste und genau das ist FALSCH.

Du hast bei der Schnittwinkelberechnung zw. NV_ebene =(2;a-3;a)
und x-Vektor =(1;0;0) mittels des Skalarprodukts usw. geschrieben

cos(Schnittwinkel) = .... = 0

das MUSS aber = 1 heißen, denn der Schnittwinkel müsste NULL°
werden, respektive dessen cos = 1.

27.05.2005, 17:02

riwe

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das ergebnis ist richtig, und auch der weg über das skalarprodukt.
ABER nur deshalb, weil cos 45 = sin 45,

beim schnittwinkel gerade /ebene hast du cos(90-a) = sin(a) =....und sin(90) = 1, oder stehe ich jetzt auch auf dem schlauch???
sky, du hast doch geschrieben, dass dann der ausdruck unter der wurzel < 1 => keine lösung für a....

fasse doch bitte einmal alle deine ergebnisse in einem post zusammen, samt dem zugehörigen rechengang
sonst verstehe ich auch nur mehr bahnhof
werner

n.s. zum letzten punkt: dazu schau dir das hier
an, da erläutert leopold, worauf es ankommt

27.05.2005, 17:24

Poff

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(auch von mir) g stimmt.

eine mögliche Lösung für h wäre z.B.
x * (0;1;1) +2 =0

(einen Normalenvekor zum Richtungsvektor (-6;-4;4) wählen,
der von der Schar nicht erreicht werden kann und dann das p
entsprechend so bestimmen, dass (3;0;-2) in der Ebene liegt.

@Werner,
so langsam versteh ich auch diesen Durcheinander um den
Schnittwinkel. Du und er 'verstehen' dabei jenen der Ebene mit der
x-Achse und ich den der Normalen mit der x-Achse. Aber gleich wie,
muss es .... = cos(0) = sin(90) = 1 heißen. Vielleicht hat er das
dann auch so umgestzt, nur nicht entsprechend geschrieben ...

Dennoch zeigen sich bei diesen Sachen die versteckten Unsicherheiten
und das aufs formale Rechnen ausgerichtete Vorgehen.
(auf den Gedanken ich muss da jetzt sinus nehmen weil ich 'Ebene mit
Gerade', käme ich erst garnicht, bei mir stellt sich eher die Frage
welchen Winkel muss ich warum nehmen ... Diese Regel hat ja nichts
mit Ebene und Gerade zu tun, sondern NUR damit dass der
Normalenvektor der Ebene eingesetzt wird )

27.05.2005, 20:46

SkYfiGhTeR

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Hallo,

hm, naja die Teilaufgaben vorher waren ja alles klar bzw. sowieso korrekt.

Dann jetzt eben nochmal klar zum zweiten Teil der Teilaufgabe e):

Ich hatte ja zuerst gemeint:

$\begin{eqnarray*} cos 90°=\frac{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

Und ich war nun eben irritiert, da das ja jetzt wie es so dasteht auf der linken Seite 0 geben würde und damit 0=2 rauskäme.

Mit Sinus ist das vll. doch etwas verwirrend, mir war eben im Kopf, dass bei Ebene/Gerade nicht einfach nur cos (a) ist, sondern wie nun schon gesagt cos (90°-a) was ja dann eben dem sin (a) entspricht.

Und dann haben wir hier natürlich für Alpha 90°, da es ja darum geht, ob die Ebene orthogonal geschnitten wird.

Also dann:

$\begin{eqnarray*} cos (90°-90°)=\frac{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{2}+(a-3)^{2}+a^{2}=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}-3a+4,5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=+1,5\pm\sqrt{2,25-4,5} \end{eqnarray*}$

=> Keine Lösung für a.

- - - - - - - - -

Zu Aufgabe g): - Alles klar, in Ordnung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und da heißt's ja im Prinzip wieder cos (90°-a) => cos (90°-45°) => cos (45°) und das ist gleich sin (45°).

- - - - - - - - -

Zur Aufgabe h):

Zitat:

Original von Poff

eine mögliche Lösung für h wäre z.B.
x * (0;1;1) +2 =0

(einen Normalenvekor zum Richtungsvektor (-6;-4;4) wählen,
der von der Schar nicht erreicht werden kann und dann das p
entsprechend so bestimmen, dass (3;0;-2) in der Ebene liegt.

Also wir haben ja:

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x}\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}-6\\-4\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_a: 2x+(a-3)y+az=6-2a \end{eqnarray*}$ bzw. den Normalenvektor der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} \vec{n}_{E_a}=\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun suchen wir eine Ebene $\begin{eqnarray*} E* \end{eqnarray*}$ , welche die Gerade $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ enhält, aber nicht Teil der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ ist.

Ich bestimme jetzt also einen Normalenvektor zu dem Richtungsvektor der Gerade h, der aber nicht von der Ebenenschar erreicht werden kann. Und wie stell' ich das an? Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ würde ja nun z.B. vom Normalenvektor der Ebenenschar nicht erreicht werden. Aber dieser gewälte Normalenvektor passt ja jetzt nicht zu dem Richtungesvektor der Geraden h oder wie mach ich das überhaupt, dass ich einen Normalenvektor zu einem Richtungsvektor aufstelle?

27.05.2005, 22:28

riwe

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jetzt ist es schon übersichtlicher.
zu deiner letzten aufgabe schau dir den link an aus meinem letzten beitrag
das ist ein schwieriges zeug und dort treffend erklärt
wenn ich es richtig verstanden habe, mußt du deine schnittgerade so ergänzen, dass rauskommt
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

27.05.2005, 23:26

Poff

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nun gut, mit meiner 'Lösung' für h, besser dem Lösungweg bin ich
auch nicht zufrieden, dieweil das nicht allgemein so umsetztbar ist.

dennoch mal zeige:

zuerst wähle ich einen passenden Normalenvektor zu (-6;-4;4)

(x;y;z)*(-6;-4;4) =0

da ich weiterhin will, dass der nicht zu (2;a-3;a) passen soll, wähle
ich versuchsweise und der Einfachheit wegen x zu Null vor

(0;y;z)*(-6;-4;4) =0 liefert -4y+4z=0 also y=z das wähle ich nun
der Einfachheit wegen zu 1.

Probe (0;1;1)*(-6;-4;4) = ... =0

nun sind alle Ebenen x*(0;1;1) -p =0 parallel zu h.
damit h IN der Ebenen liegt muss zusätzlich auch (3;0;-2) in
der Ebene liegen, also

(3;0;-2)*(0;1;1) -p =0
-2-p = 0 ..... p =-2 und somit

x*(0;1;1) +2 =0

dass die nun definitiv mit keiner aus Ea zusammenfällt zeigt mir das
Vektorpodukt

(2;a-3;a)x(0;1;1) = (-3;-2;2) =ungleich Null für alle a

damit ist klargestellt, dass kein Ea mit x*(0;1;1) +2 =0 zusammenfällt.

31.05.2005, 18:37

SkYfiGhTeR

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Hallo,

jepp alles klar.

Ich habe es jetzt im Prinzip auf fast gleichem Weg:

$\begin{eqnarray*} E*: \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}-6\\-4\\4\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_a: 2x+(a-3)*y+a*z=6-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\a-3\\a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-6\\-4\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\gamma-4\beta\\4\alpha+6\gamma\\-6\beta+4\alpha\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, das sollte jetzt nicht kollinear zu dem Normalenvektor der Ebenenschar sein, also z.B. $\begin{eqnarray*} \alpha=0, \beta=-1 und \gamma=1 \end{eqnarray*}$

Das ergäbe damit dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit dann $\begin{eqnarray*} E*: [\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Als eine Möglichkeit, denn es gibt ja eigentlich mehrere bzw. unendlich viele Möglichkeiten als E*.

Danke nochmals..

31.05.2005, 18:49

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ich habe hier nun eine weitere zusammengesetzte Aufgabe zum Thema Vektorrechnung und mache jetzt nicht extra ein neues Thema auf, ich denke das passt ja sowieso hier rein.

Die Aufgabe s. Anhang.

Das meiste habe ich schon, nur bei ein oder zwei Dingen hab ich es noch nicht richtig (rausbekommen) und beim Rest eben mal schauen, dass ich mich nicht vertan hab. *g*

- - -

Aufgabe b):

Ich habe die Strecke bzw. Gerade AC mal g1, AB g2 und BC g3 genannt.

Innenwinkel zwischen g1 und g2: 60,25°

Innenwinkel zwischen g2 und g3: 81,87°

Innenwinkel zwischen g1 und g3: 37,87°

Fläche der Pyramide:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*|\vec{a}\times\vec{b}|=\frac{1}{2}*|\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Pyr.} = 14 \end{eqnarray*}$

Aufgabe c):

Hier habe ich irgendwie ein Problem...normalerweise kann man das Volumen doch so ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*|\vec{a}\times\vec{b}|*\vec{c} \end{eqnarray*}$

Nur das gäbe hier irgendwie 0 ?! *g*

Erstmal bis hier her...damit's nicht zu unübersichtlich wird und zu durcheinander. Rest folgt dann noch...braucht nicht schon gepostet zu werden...mach ich dann sobald das mit dem Volumen klar ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2005, 20:27

riwe

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} =4\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow 4\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} =4\cdot 27 \end{eqnarray*}$
werner

31.05.2005, 20:41

SkYfiGhTeR

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Hallo,

öhm, versteh ich grade nicht...wieso $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\0\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?!

Ich habe $\begin{eqnarray*} g_3=\vec{a}; g_2=\vec{c}; g_1=\vec{b} \end{eqnarray*}$ gewählt.

Also habe ich doch:

$\begin{eqnarray*} A_{Pyr.}=\frac{1}{2}*|\vec{a}*\vec{b}|=\frac{1}{2}*|\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}| = \frac{1}{2}*\begin{pmatrix}0\\0\\-28\end{pmatrix} = 14 \end{eqnarray*}$ oder?

Und für das Volumen:

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*|\vec{a}\times\vec{b}|*\vec{c} = \frac{}{6}*\begin{pmatrix}0\\0\\-28\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}=\frac{1}{6}*(0+0+0) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Wie komme ich denn auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\0\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Bzw. was ist die von dir gepostet Zeile jetzt überhaupt genau ? *g*

31.05.2005, 21:15

riwe

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das ist ein tipfehler, aber das ist egal
$\begin{eqnarray*} 4\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} =-4\cdot 42 \end{eqnarray*}$
ich wollte dich darauf hinweisen, dass du den falschen vektor nimmst!!!!!!!!!!!
c = CS!!!!!, ist ja klar, dass 0 herauskommt, wenn du einen vektor in der ebene ABC nimmst (AB)! das dreibein ist CA, CB und CS!
werner

31.05.2005, 21:26

SkYfiGhTeR

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Hi,

oh man klar...stimmt.

Also dann zum Volumen:

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*|\vec{a}\times\vec{b}|*\vec{c} = \frac{1}{6}*\begin{pmatrix}0\\0\\-28\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}=\frac{1}{6}*(-168) = (-)28 \end{eqnarray*}$

Ok, dann dürften Fläche und Volumen nun stimmen nicht?

Die Winkel sind auch i.O. oder?

01.06.2005, 01:50

Poff

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*|\vec{a}\times\vec{b}|*\vec{c} = ... = (-)28 \end{eqnarray*}$

das hast NICHT korrekt geschrieben, das muss so aussehen,
sonst ist's falsch

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = ... \end{eqnarray*}$

bei der Fläche hingegen so

$\begin{eqnarray*} A_{Pyr.}=\frac{1}{2}*|\vec{a}\times\vec{b}|= ... \end{eqnarray*}$

einen Winkel hab ich mal nach ... 37,87°, dann wird der Rest auch
.

01.06.2005, 06:45

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ahja, danke für den Hinweis!

Aufgabe d):

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix}-6\\-2\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und daraus dann die Normalengleichung:

$\begin{eqnarray*} E: [\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}3\\6\\10\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

01.06.2005, 09:01

riwe

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ok
wenn betragsstricherl, dann so:
$\begin{eqnarray*} V_P=\frac{1}{6}\mid (\vec{a} \times \vec{b} )\cdot \vec{c} \mid \end{eqnarray*}$
einmal ein bildchen
werner

01.06.2005, 11:49

SkYfiGhTeR

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Hallo,

alles klar in Ordnung.

Vielen Dank für das Bild übrigens! Augenzwinkern

Augenzwinkern

- - -

Dann dürfte die Aufgeb d) mit der Normalengleichung der Ebene ja stimmen.

Bei Aufgabe e) habe ich wohl etwas falsch, da die Punkte A und B nicht wirklich auf meiner Spurgeraden liegen, also ist die wohl nicht ganz korrekt:

$\begin{eqnarray*} E_{x,y}: \vec{}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:[u*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}3\\6\\10\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Da habe ich für u erhalten: $\begin{eqnarray*} u=-2v-14 \end{eqnarray*}$

Und das eingesetzt in die Spuregerade (x,y) hat ergeben:

$\begin{eqnarray*} g_{x,y}:\vec{x}=\begin{pmatrix}-14\\0\\0\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tja, nur irgendwo muss ich noch ein Rechenfehler haben, da die Punkte A und B nicht drauf liegen...ich tippe laut den Ergebnissen beim Überprüfen der Punkte mit dieser Gleichung der Spurgeraden auf 'nen Vorzeichenfehler.. *g*

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