Rentenrechnung

25.05.2005, 22:29

Kira 007

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Rentenrechnung

Hallo zusammen bräuchte dringend eure Hilfe Hilfe

Hilfe

bei folgender Aufgabe

Ein selbständiger Handwerksmeister zahlt bei einer Rentenanstalt 8 jahre lang am Anfang eines jeden Jahres 5000€ ein. laut Vertrag erwirbt er einen Anspruch auf eine 10 jährige nachschüssige Rente. Die erste Zahlung der Rentenanstalt soll 5 Jahre nach der letztsten erfolgen. Welche rentenrate wird ausgezahlt, falls mit einer Verzinsung von 7% gerechnet wird.

Mein Problem bei dieser Aufgabe sind die 5 Jahre

Danke schon mal für eure Hilfe

Gruß Kira

25.05.2005, 23:43

etzwane

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Ich hatte mal Lust, das Beispiel manuell durchzurechnen, auch wegen den nicht von vornherein klaren "5 Jahren":

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:

Zahlungsablauf:                    Zinsen-VJ        Kapital 
Anfang Jahr 1:   +5000                  0,00        5000,00
Anfang Jahr 2:   +5000                350,00       10350,00
Anfang Jahr 3:   +5000                724,50       16074,50
Anfang Jahr 4:   +5000               1125,22       22199,72 
Anfang Jahr 5:   +5000               1553,98       28753,70
Anfang Jahr 6:   +5000               2012,76       35766,46
Anfang Jahr 7:   +5000               2503,37       43270,11
Anfang Jahr 8:   +5000               3028,91       51299,02
Ende Jahr 8:     1. Jahr nichts      3590,93       54889,95
Ende Jahr 9:     2. Jahr nichts      3842,30       58732,25
Ende Jahr 10:    3. Jahr nichts      4111,26       62843,51
Ende Jahr 11:    4. Jahr nichts      4399,05       67242,55
Ende Jahr 12:    5. Jahr nichts      4706,98       71949,53 
Anfang Jahr 13: -9573,28            ---            62376,25  
Anfang Jahr 14: -9573,28             4366,34       57169,31
Anfang Jahr 15: -9573,28             4001,85       51597,87
Anfang Jahr 16: -9573,28             3618,85       45636,44
Anfang Jahr 17: -9573,28             3194,55       39257,71
Anfang Jahr 18: -9573,28             2748,04       32432,47
Anfang Jahr 19: -9573,28             2270,27       25129,46
Anfang Jahr 20: -9573,28             1759,06       17315,24
Anfang Jahr 21: -9573,28             1212,07        8954,03
Anfang Jahr 22: -9573,28              626,78 Restbetr. 7,53
dann sollte das Kapital aufgebraucht sein

Der Restbetrag von 7,53 rührt her durch Rundungsfehler sowie einen Rechenfehler, da die jährliche Rente eigentlich 9573,82 beträgt anstelle der fälschlicherweise von mir benutzten 9573,28 (dummer Zahlendreher). Am grundsätzlichen Rechnungsgang ändert sich dadurch aber nichts.

Müsste so eigentlich stimmen, wenn nicht, Forum Kloppe

Forum Kloppe

25.05.2005, 23:51

Kira 007

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Hy super danke doch das ergebnis stimmt genau.

Aber wie würde das mit der rentenformel gerechnet werden komme einfach nicht drauf .

Gruß Kira

26.05.2005, 00:08

etzwane

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Na prima, dass das stimmt, ist ja doch eine elende Tipperei in den TR ...

Zinssatz p=7 %, damit q=1+p/100=1,07

1) Rate r=5000 , und das 8 Jahre lang , wie hoch ist das Kapital K0 nach den 8 Jahren ?

2) dann liegt das Kapital K0 noch 5 Jahre auf dem Konto, wie hoch ist dann das Kapital K1 nach den 5 Jahren ?

3) dann werden 10 Jahresraten r entnommen, bis am Schluss nichts mehr übrig ist. Da habe ich so gerechnet:
$\begin{eqnarray*} r = K_1*q^{n-1}*\frac{q-1}{q^n-1} \end{eqnarray*}$

Die Formeln für 1) und 2) solltest du schon selber wissen, die Zahlen kannst du ja anhand der Tabelle vergleichen.

26.05.2005, 00:25

Kira 007

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OK dann versuche ich es gleich mal

Nach 8 Jahren =

5000*1,07 * 1,07^8-1
________ = 54889,94
0,07

54889,94*1,07^5=76985,99

Benutzt Du zum Berechnen von c.) die Kapialabbau formel die kenne ich nämlich nicht.

Und warum muss ich bei dieser Aufgabe mit dem Endwert rechnen?

Würde der Barwert nicht auch gehen

26.05.2005, 00:41

etzwane

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Ich hatte benutzt:

zu 1) $\begin{eqnarray*} K_0=r*\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ mit n=8, ergibt K0=51299,01

zu 2) $\begin{eqnarray*} K_1=K_0*q^n \end{eqnarray*}$ mit n=5 , ergibt K1=71949,51

zu 3) da habe ich eigentlich etwas rumprobiert, wegen vorschüssig-nachschüssig, Endbetrag-Grundbetrag, Barwert oder nicht und so, bis ich der Meinung war, das könnte die richtige Formel sein. Genau begründen kann ich das leider nicht, da fehlen mir einige Kenntnisse. Auf jeden Fall erschienen mir die r=9573,82 für die jährlichen Zahlungen irgendwie plausibel.

Gute Nacht Wink

Wink

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26.05.2005, 20:49

Kira 007

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Also die Formel sagt mir überhaupt nichts besonder sdie von c) ich versuche schon stundenlang auf das richtige ergebnis zu kommen es klappt aber nicht.

Gruß Kira

26.05.2005, 21:08

Poff

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Zitat:

Original von Kira 007

Benutzt Du zum Berechnen von c.) die Kapialabbau formel die kenne ich nämlich nicht.

Kira 007,

du kennst alle diese Formeln, die haben wir schon x-fach durchgespielt :-o
.

26.05.2005, 21:35

Kira 007

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Nun natürlich kenne ich die Formeln für Bar und endwert vor und nachschüssig allerdings nicht die von c) kann mir daher auch nicht vorstellen das man die unbedingt braucht.

Die dritte Jahresangabe ist mein problem in dieser Aufgabe

Gruß Kira

26.05.2005, 22:13

etzwane

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@Kira:

die dritte Formel entsteht aus $\begin{eqnarray*} K_n=K*q^{n}-r*\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ durch Auflösung nach r mit $\begin{eqnarray*} K_n=0 \end{eqnarray*}$ und in diesem Fall $\begin{eqnarray*} K=\frac{K_1}{q} \end{eqnarray*}$ .

26.05.2005, 22:47

Kira 007

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OK ich nehme mal eine andere Aufgabe als Beispiel

Ein selbständiger kaufmann zahlt bei einer Versicherung 10 jahre lang am Ende eines jeden Jahres 4000€. Er erwirbt als Gegenwert eine 8 jährige vorschüssige Rente. Die erste Zahlung der Versicherungsanstalt erfolgt erst 4 Jahre nach der letztsten Einzalung. Welche rate wird an den Kaufmann ausgezahlt falls die Verzinsung mit 4,75% vorgenommen wird.

Gerechnet habe ich folgendes

$\begin{eqnarray*} 4000/1,0475^10 * 1,0475^10-1/0,0475 * 1,0475^14 \end{eqnarray*}$ =59871,52

$\begin{eqnarray*} = r*1,0475/1,0475^8*1,0475^8-1/0,0475 \end{eqnarray*}$ =

59871,52:6,839165555=8754,21

Müsste so stimmen irgendwie so muss sich doch die andere Aufgabe auch rechnen lassen um auf die 9000 und noch was zu kommen.

Gruß Kira

26.05.2005, 23:40

etzwane

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ich komme auf die gleichen Zahlenwerte mit q=1,0475:

$\begin{eqnarray*} K_1=4000*\frac{q^{10}-1}{q-1}=49728,36 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_2=K_1*q^4=59871,52 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=K_2*q^{8-1}*\frac{q-1}{q^8-1}=8754,21 \end{eqnarray*}$

Was ich nicht ganz verstehe ist, warum du in der ersten Zeile deiner Rechnung erst durch q^10 teilst und dann mit q^14 multiplizierst. Mir ist klar, das hat was mit den 10 + 4 Jahren zutun, aber was ist der Grund dafür, dass man so rechnet?

EDIT: Schreibfehler im letzten Bruch korrigiert, die 8 muss in den Nenner

26.05.2005, 23:52

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grund dafür ist das ich mit einem vor bzw. nachschüssigem Barwert gerechnet habe anstatt mit einem Endwert

das müsste ich doch aber eigentlich bei der anderen auch hin bekommen komme nur irgendwie nicht aufs richtige Ergebnis

Mir ist dagegen dein c nicht so ganz klar was allerdings ja auch nicht so schlimm ist wir haben ja beide das richtige Ergebnis errechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

jetzt müsste ich das nur noch auf die oben gennate Aufgabe überrtragen können

Gruß Kira

27.05.2005, 00:01

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, ich verstehe

setz doch mal in der zweiten Zeile deiner Rechnung vernünftige Klammern, und wenn du das dann immer noch nicht siehst, dann stell doch diese Formel einmal nach r um, und dir wird ein Licht aufgehen, hoffentlich

27.05.2005, 10:38

Kira 007

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Hammer

Irgendwie schein ich blinnt zu sein.

was mache ich den für einen Fehler den ich irgendwie immer übersehe ?

27.05.2005, 10:55

etzwane

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Die zweite Zeile war:
$\begin{eqnarray*} 59871,52= r*1,0475/1,0475^8*1,0475^8-1/0,0475 \end{eqnarray*}$

und jetzt mit q anstelle 1,0475:
$\begin{eqnarray*} 59871,52= r*q/q^8*\frac{q^8-1}{q-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 59871,52= r*/q^{8-1}*\frac{q^8-1}{q-1} \end{eqnarray*}$
und das umgestellt nach r ergibt:
$\begin{eqnarray*} r=59871,52*q^{8-1}*\frac{q-1}{q^8-1} \end{eqnarray*}$

Ach ja, und da habe ich oben gleich einen Schreibfehler bei mir gesehen und korrigiert.

27.05.2005, 11:09

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke das habe ich verstanden

aber bei dieser Aufgabe hackt es an der einen Stelle

die muss wohl irgendwie ein wenig anders zu rechnen sein.

Ein selbständiger Handwerksmeister zahlt bei einer Rentenanstalt 8 jahre lang am Anfang eines jeden Jahres 5000€ ein. laut Vertrag erwirbt er einen Anspruch auf eine 10 jährige nachschüssige Rente. Die erste Zahlung der Rentenanstalt soll 5 Jahre nach der letztsten erfolgen. Welche rentenrate wird ausgezahlt, falls mit einer Verzinsung von 7% gerechnet wird.

Soll ich mal anfangen ne Formel aufzustellen? problem sind nämlich die 5 Jahre, nur komisch die hatte ich in der anderen Aufgabe ja auch

27.05.2005, 11:42

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du von dieser Aufgabe das Ergebnis ?

Wenn ja, dann schreib das mal rein, denn eigentlich hatte ich diese Aufgabe schon gerechnet und dachte, meine Rechnung wäre richtig.

27.05.2005, 12:01

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar kenne ich Ergebnis müsste sein 9573,82 €

27.05.2005, 12:12

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du dir unsicher bist, mache halt eine skizze, da brauchst du keine formeln, aber die helfen! wichtig ist, dass du einen BEZUGSPUNKT festlegst, auf den sich ALLE zahlungen beziehen
(ich habe mir mal die mühe gemacht)
anzumerken bleibt, dass diese formulierung mit den 5 jahren ziemlich unsauber ist

laut skizze erhält man
$\begin{eqnarray*} R_1q^{14}\frac{q^{8}-1}{q-1}=R_2 \frac{q^{10}-1}{q-1}\;.....\;R_2=9573,83 \end{eqnarray*}$
werner

27.05.2005, 12:32

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wernerrin
....
anzumerken bleibt, dass diese formulierung mit den 5 jahren ziemlich unsauber ist
...

Genau, das ist das Problem bei dieser Aufgabe. Und den Hinweis auf eine Skizze will ich mir mal merken.

27.05.2005, 12:35

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum denkst Du das die Formulierung mit den 5 Jahren unsauber ist
(die Aufgabe steht ja leider so bei mir im Mathebuch

Wenn ich das nun richtig verstehe zahlt er zwar 22 mal aber in 21 Jahren und deshalb die hoch 14

Irgendwie ist das noch immer schwer zu verstehen

Könnte ich das dann auch mit Hilfe des Barwertes berechnen ? So wie bei der Aufgabe davor

27.05.2005, 12:59

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist es ja, war ja nicht gegen dich gerichtet!

und eben unsauber oder unklar, mißverständlich, hinterfotzig, gemein usw., weil sich da 2 jahre sozusagen überschneiden - zahlung der letzten rate am jahresanfang und auszahlung der 1. nachschüssigen rente 5 jahre danach (4 rote punkterl)

und darum mußt du mit 14 nicht mit 15 rechnen, zähle doch einfach die jahre von der 1. zahlung bis zum bezugspunkt( 1. zahlung multipliziert mit q^21, letzte zahlung multipliziert mit q^14, und da hebt man dann q^14 heraus
$\begin{eqnarray*} zahlungen=R_1q^{21}+R_1q^{20}+....+R_1q^{14}=R_1q^{14}\frac{q^{8}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

werner

27.05.2005, 13:02

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

OK habe dazu aber nochmal eine Frage werden die 5 Jahre nicht zu den 8 gerechnet verwirrt

verwirrt

Und überscheiden die jahre sich den nicht auch bei der anderen Aufgabe ?

27.05.2005, 13:20

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das kommt öfter vor, eben weil das eine vorschüssig sind - die einzahlungen - und die auszahlungen nachschüssig
wo(hin) du die 5 jahre rechnest kommt auf den bezugspunkt an, den kannst wählen wie du willst.
vielleicht wird es mit skizze 2 klarer
endwert eine vorschüssigen rente EW
$\begin{eqnarray*} EW=Rq\frac{q^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$
und diesen betrag mußt du jetzt noch zusätzlich 13 jahre verzinsen = 14 = 10 (laufzeit der rente) + 5 (anzahl der jahre zwischen letzter ein und erster auszahlung) - 1 (überschneidung)
werner

27.05.2005, 20:19

Kira 007

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Die Skizzen sind super danke dafür

nur was heist genau Bezugszeitpunkt und wie bestimmt man dieses?

27.05.2005, 22:43

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

bezugspunkt soll nur heißen, du mußt alle zahlungen auf einen bestimmten zeitpunkt beziehen, das ist ja der sinn von zins und zinseszins. diesen bezugs/zeit/referenspunkt kannst du wählen, wie du willst, aber logischerweise wählt man ihn so, dass die rechnung möglichst einfach wird, also in der regel am anfang aller zahlungen, dann muß ich alle beträge abzinsen, oder am ende, dann muß ich alles verzinsen, so wie ich es hier gemacht habe. du kannst auch deinen referenzpunkt z.b. auf den zeitpunkt der ersten rentenauszahlung legen, dann mußt du den ENDwert der ersten einzahlungen berechnen, diesen ENDwert dann noch 4 (?) jahre verzinsen und dann diesen wert dem BARwert (= abgezinst) der neuen rente gegenüberstellen

wie man also wählt, ist geschmackssache und übung, aber wie oben gesagt: anfang oder ende sind meist am einfachsten
hoffentlich ist es klar genug
werner

27.05.2005, 22:52

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke die Erklärung war super

Ich könnte aber doch sicher auch die Aufgaben mit Hilfe des Barwertes berchnen oder würde mir leichter fallen.

komme mit meinem Barwert immer noch nicht auf die 9000 und nochwas das muss aber doch auch gehen Barwert ist bei dieser aufgabe irgendwie leichter.

Gruß Kira

27.05.2005, 23:33

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du es denn dann gerechnet?

27.05.2005, 23:44

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Na keine Ahnung komme ja nicht drauf versuche immer die Formel aufzu stellen und bekomme ein Falsches Ergebnis herraus

Gruß Kira

27.05.2005, 23:53

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zeig dochmal was du gerechnet hast und vorallem wie du die Formel aufgestellt hast.

Und dann erklärst du mir nochmal ganz genau, wie du das machen willst. Habe das nämlich glaube ich noch nicht ganz genau verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruss
mercany

27.05.2005, 23:59

Kira 007

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Ein selbständiger Handwerksmeister zahlt bei einer Rentenanstalt 8 jahre lang am Anfang eines jeden Jahres 5000€ ein. laut Vertrag erwirbt er einen Anspruch auf eine 10 jährige nachschüssige Rente. Die erste Zahlung der Rentenanstalt soll 5 Jahre nach der letztsten erfolgen. Welche rentenrate wird ausgezahlt, falls mit einer Verzinsung von 7% gerechnet wird.

Also hier ist erstmal nochmal die Aufgabe die ich nun mit Hilfe des Barwertes berechnen möchte

der Unterschied zwischen Bar und endwert besteht doch darin das der Endwert auf den Zeitpunkt nach den Einzalungen berechnet wird und der Barwert vorher.

Gruß Kira

28.05.2005, 00:11

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, ich würde das jetzt so verstehen.

Wir zahlen 8 Jahre lang einen Betrag x ein.
Dann bleibt dieser noch 5 Jahre auf dem Konto liegen.
Nach den 5 bzw. insgesamt 13 Jahren wird nun dieser Betrag x (+ Verzinsung) genommen, und auf eine 10 jährige nachschüssige Rente aufgeteilt.

So würde ich das Ganze jetz mal interpretieren, und daraus folgt:

Rentenformel für nachschüssige Rente nehmen.
Endwert, Jahre, Zinssatz einsetzen. nach r (Rentenrate) auflösen.

Gruss
mercany

/edit: Fehler entfernt!

/edit 2: Erklärung zum Barwert:

A möchte sich in vier Jahren ein neues Auto kaufen, das dann 30 000 € (Endwert) kosten wird. Er möchte bereits heute wissen, wie viel Geld er anlegen muss, wenn er mit einer Verzinsung von 6 % rechnen kann.

28.05.2005, 00:27

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Also stimmt das ja wie ich schon gesagt habe Barwert heute Endwert nach jahren.

kann ich dann also gar nicht die Aufgabe mit dem Barwert berechnen

28.05.2005, 00:35

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da du ja mit der Formel für nachschüssige Rente rechnen muss!

28.05.2005, 00:43

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest Du es denn rechnen

komme nämlich nicht auf das richtige Ergebnis traurig

traurig

28.05.2005, 01:00

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dochmal die Formel auf, und setze ein!

/edit: Die Formel für nachschüssige Rente kennst du ja, oder?!

28.05.2005, 01:06

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 5000+1,07 *1,07^8-1 /0,07 \end{eqnarray*}$ = 54889,94

54889,94 = $\begin{eqnarray*} r* 1,07^10-1/0,07 *1,07^4 \end{eqnarray*}$ = 18,11054486

54889,94:18,11054486 = 6767,72 raus kommen soll irgendwas um 9000

28.05.2005, 01:10

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo sind die 5 Jahre, die der Betrag noch auf der Bank liegt?

28.05.2005, 01:16

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal Verzinsen das habe ich doch schon mit den 1,07 hoch 4

oder verstehe ich da jetzt was falsch verwirrt

verwirrt

Verwzeifel an dieser Aufgabe langsam

wie würde Deine Rechnung denn aussehen

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