Nochmal ein Integral

08.01.2008, 19:45

Slithers

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Nochmal ein Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x+1}{x^4+8x^2+16}~dx \end{eqnarray*}$

kann man ja aufteilen in

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{x^4+8x^2+16}~dx + \int_{}^{}~\frac{1}{x^4+8x^2+16}~dx \end{eqnarray*}$

das erste bekomm ich mit substitution gelöst.
aber wie geht man an das 2. ran?!

// edit: ich weiß natürlich dass $\begin{eqnarray*} x^4+8x^2+16=(x^2+4)^2 \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2008, 20:15

WebFritzi

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Stichwort: Partialbruchzerlegung

08.01.2008, 20:24

Slithers

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mh..aber ich bekomm den ansatz dazu nicht auf die reihe?!

08.01.2008, 21:37

WebFritzi

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OK, meine Antwort war Quatsch. Sorry.

08.01.2008, 21:54

tmo

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also der erste summand ist mit einer sehr naheliegenden substitution schnell integriert.

beim zweiten würde ich mal so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2+4} - \frac{x^2}{(x^2+4)^2} \right) \end{eqnarray*}$

der erste summand lässt sich schnell auf den arcustangens zurückführen und den zweiten kann mit partieller integration beackern.

08.01.2008, 22:02

Slithers

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wie kommt man denn darauf (auf den schritt)?!?!
sorry wenn ich so blöd frag aber da komm ich nicht hinter.

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08.01.2008, 22:04

tmo

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ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} - \frac{1}{x^2+4} \end{eqnarray*}$ berechnet.

08.01.2008, 22:09

WebFritzi

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Ah ja, also doch Prtialbruchzerlegung. Das hier ist so ähnlich wie bei mehrfachen reellen Nullstellen. Da hat man ja sowas wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-3)^2} = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx}{(x-3)^2}. \end{eqnarray*}$

08.01.2008, 22:12

Slithers

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@tmo: den sinn versteh ich immernoch nicht smile

smile

wieso macht man das?

@fritzi: das witzige ist nur, dass es hier keine nullstellen gibt smile

smile

08.01.2008, 22:14

tmo

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Zitat:

Original von Slithers
@tmo: den sinn versteh ich immernoch nicht smile

smile

wieso macht man das?

weil es halt zum ziel führt. was soll ich da mehr zu sagen verwirrt

verwirrt

allgemein ist es halt beim integrieren öfters hilfreich einen term in eine summe aufzuspalten.

und da man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+4} \end{eqnarray*}$ auf jeden fall integrieren kann, wäre dies als erster summand doch schonmal nicht schlecht.

08.01.2008, 22:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Slithers
@fritzi: das witzige ist nur, dass es hier keine nullstellen gibt smile

smile

Doch, aber eben keine reellen.

08.01.2008, 22:49

Slithers

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okay.. verstehe ich
aber jetzt noch ne kleinigkeit:

wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} - \frac{1}{x^2+4} \end{eqnarray*}$ berechne, dann

muss ich den 2. bruch ja erweitern.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} - \frac{1(x^2+4)}{(x^2+4)(x^2+4)}=\frac{1-3-x^2}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

wie kommt man denn von da auf das

?

08.01.2008, 22:53

tmo

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Zitat:

Original von Slithers

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} - \frac{1(x^2+4)}{(x^2+4)(x^2+4)}=\frac{1-3-x^2}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

du hast einen kleiner fehler drin. es lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} - \frac{1(x^2+4)}{(x^2+4)(x^2+4)}=\frac{-3-x^2}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt einfach die -3 auf die andere seite bringen und dann stehts fast da.

08.01.2008, 23:18

Slithers

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{4}{(x^2+4)^2} - \frac{1}{(x^2+4)}=\frac{-x^2}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{(x^2+4)^2} =\frac{1}{(x^2+4)} -\frac{x^2}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+4)^2} = \end{eqnarray*}$

dankeschön smile

smile

ich werd dann mal an dem integral weitertüfeln und mich dann ggf nochmal hier melden

09.01.2008, 18:49

Slithers

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so ihr lieben.
ich hab mich nochmal drangesetzt und es gibt wieder ein problem:
Es geht jetzt ja jetzt darum das integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^2}{(x^2+4)^2}~dx \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Die PBZ liefert:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(x^2+4)^2}=\frac{1}{(x^2+4)}-\frac{4}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

der 2. summand stellt unser ausgangsproblem dar.
wir drehen uns also im kreis?!?!?!

also ich schreib hier jetzt mal das ausgangsintegral hin, wovon alles ausgeht:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{x^5+8x^3+17x+1}{x^4+8x^2+16}~dx \end{eqnarray*}$

09.01.2008, 18:52

tmo

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wähle $\begin{eqnarray*} u = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = \frac{x}{(x^2+4)^2} \end{eqnarray*}$ für partielle integration.
den tipp habe ich übrigens schonmal gegeben..

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