Rekursionsformel

08.01.2008, 20:38

Ballonmaus

Rekursionsformel

Hallo!
Vielleicht kann mir jemand von euch helfen. Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Finden Sie die Rekursionsformel zur Berechnung des folgenden Integral:
$\begin{eqnarray*} I_{2n+1}=\int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^{2n+1}}~dx \end{eqnarray*}$
Hat jemand eine Idee? Also eine, die ich hatte, ist:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{a}^{b}~\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{a}^{b}~\frac{1+x^2}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}~dx-\int_{a}^{b}~\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{x^2+1}^{2n-1}}~dx - \int_{a}^{b}~\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = I_{2n-1}+\int_{a}^{b}~\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}~dx \end{eqnarray*}$
Kann man mit dem Ansatz was machen? Ich hab nun eigentlich eher Probleme das verbleibende Integral sinnvoll aufzulösen. Jemand eine Idee?

08.01.2008, 22:15

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RE: Rekursionsformel

Zitat:

Original von Ballonmaus
Kann man mit dem Ansatz was machen?

Sieht bisher gut aus.

Zitat:

Original von Ballonmaus
Ich hab nun eigentlich eher Probleme das verbleibende Integral sinnvoll aufzulösen. Jemand eine Idee?

Partielle Integration von $\begin{eqnarray*} \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}^{2n+1}}}_{v'} \end{eqnarray*}$ .

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