Fouriertransformation cos

08.01.2008, 20:51

Jester

Fouriertransformation cos

Hi Leute,

ich habe ein Verständnisproblem, ich weiß das der Cosinus fouriertransformiert zwei Diracs ergibt, einer nach links verschoben und einer nach rechts. Jetzt meine Frage wie löse ich das mithilfe des Fourierintegrals?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~cos(x) *e^{-j2\pi fx} ~dx \end{eqnarray*}$

So sieht mein Integral aus, jetzt habe ich den Cosinus zerlegt in 2 e-Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}~(e^{jx} +e^{-jx} )*e^{-j2\pi fx} ~dx \end{eqnarray*}$

so dann rechne ich ein wenig rum löse die Klammer auf usw. und integriere dann, aber wenn ich dann die Grenzen einsetze kommt irgendein Bullshit raus. Ich weiß aber auch irgendwie nicht auf was ich kommen soll, wie ist denn ein Dirac definiert, was für eine Funktion steckt denn dahinter?

Ich bin für jede Hilfe dankbar =)

Mfg
Jester

09.01.2008, 13:11

Orakel

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RE: Fouriertransformation cos
versuch mal, das reelle integral als komplexes wegintegral zu schreiben, indem du eine variablensubstitution durchführst!

ich hab es allerdings selbst noch nicht berechnet!

09.01.2008, 18:44

yeti777

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RE: Fouriertransformation cos
Hoi Jester bzw. Orakel!

Als El.Ing. ist mir diese Aufgabenstellung vertraut, die Lösung auch. Ich kann die Aufgabe aber nur mit Einsatz der Distributionentheorie lösen, da der DIRAC-Stoss ja keine Funktion im klassischen Sinn ist, sondern eine irreguläre Distribution (= lineares Funktional auf dem Raum der Testfunktionen). Ich weiss nicht, ob du mit der Distributionentheorie vertraut bist, aber ich schreibe meine Lösung für alle Fälle hin:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(cos(\omega_{0}x) )= \pi [\delta(\omega- \omega_{0})+ \delta(\omega- \omega_{0})] \end{eqnarray*}$ In deinem Fall gilt $\begin{eqnarray*} \omega_{0}= 1 \end{eqnarray*}$

Gruss yeti

PS. Ich wollte ein kursives F als Symbol für die FOURIER-Transformation hinschreiben, weiss aber nicht, wie das geht.

PPS. Danke, Tom! Das war ein prima Tip. Übernehme ich doch gleich in meinen "Spickzettel" Augenzwinkern

09.01.2008, 18:47

Tomtomtomtom

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$\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$

code:
1:	\mathcal{F}

10.01.2008, 18:08

Jester

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@Orakel: Sorry, mit einem komplexen Wegintegral kann ich leider nicht alzuviel anfangen, das ist nicht gerade mein Spezialgebiet, ich erinnere mich das man das Integral in 2 Integrale zerlegt, eins für den Realteil und eins für den Imagiärteil. Aber wie bringt mich das weiter?

@yeti777: Ja das ist die Lösung, die ich ja auch in meinem Skript stehen habe. Aber ich würde die Lösung gerne rechnerisch mit dem Fourierintegral erreichen. Oder ist das so ohne weiteres nicht möglich?

Also bei uns in Mathe wurde die Distributionstheorie folgendermasen eingeführt:

\lim_{k \to \infty} k*rect(k*x)

Aber ich versteh einfach nicht wie man sich die Funktion vorstellen kann und was dann rauskommen soll wenn man das Integral löst...

10.01.2008, 18:09

Jester

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} k*rect(k*x) \end{eqnarray*}$

10.01.2008, 23:27

yeti777

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Zitat:

Original von Jester
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} k*rect(k*x) \end{eqnarray*}$

Hallo Jester!

Ich nehme an, mit dieser Definition meinst du:
$\begin{eqnarray*} \delta(t)]= \lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{\alpha} [ \sigma(t)- \sigma(t- \alpha) ] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt nach diesem Ansatz $\begin{eqnarray*} \delta(t)= \begin{cases}0,& t\neq 0\\ \infty ,& t= 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty}~\delta(t)~dt= 1 \end{eqnarray*}$ . Das Rechteck wird immer höher und schmaler, behält aber die Fläche $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Die Distributionentheorie baut aber nicht auf dieser landläufigen Definition auf. Diese Definition ist lediglich als Anschauung zu verstehen, damit man sich unter dem DIRAC-Stoss etwas vorstellen kann. In der Distributionentheorie wird die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Distribution als lineares, stetiges Funktional auf dem Raum der Testfunktionen definiert , $\begin{eqnarray*} <\delta,\phi>= \phi(0), \phi\in \theta,\ \theta= \end{eqnarray*}$ Raum der Testfunktionen.
Wenn dir diese Begriffe nichts sagen, weiss ich nicht, wie ich weiterfahren soll. Die FOURIER-Transformation in der Distributionentheorie ist nämlich ziemlich verzwickt wegen der Konvergenz des Integrals.

Wenn du dich einlesen willst, empfehle ich dir folgende Bücher:
1) A. Papoulis, "The Fourier Integral and its Applications". Das ist ein Buch für Ingenieure (Signaltheorie). Im Anhang gibt er eine kurze Einführung in die Theorie der Distributionen.
2) W. Walter, "Einführung in die Theorie der Distributionen". W. Walter ist/war Professor für Mathematik an der Uni Karlsruhe
3) Preuss, Bleyer, Preuss, "Distributionen und Operatoren". Behandelt Distributionen, LAPLACE-Transformation und Anwendungen. Dieses Buch habe ich erst kürzlich antiquarisch im Internet gefunden.

Gruss yeti

PS. Die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Distribution ist NICHT integrierbar im klassischen Sinn. Kann man zeigen mit dem Satz über majorisierte Konvergenz von LEBESGUE.

13.01.2008, 19:20

Jester

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Oh, vielen dank für die Ausführliche Erklärung.

Zitat:

Die Distributionentheorie baut aber nicht auf dieser landläufigen Definition auf. Diese Definition ist lediglich als Anschauung zu verstehen, damit man sich unter dem DIRAC-Stoss etwas vorstellen kann.

Ha das ist ja interessant, und sowas bringt man uns in Mathe an der Hochschule bei....

Aber gut es Hilft nichts, die Begriffe sagen mir nämlich gar nichts, ich werde mich dann wohl einlesen müssen, wir haben zum Glück an der FH eine große Bibliothek dort werde ich wohl die empfohlenen Bücher finden.

Vielen Dank an alle die geantwortet haben. =)

14.01.2008, 12:56

yeti777

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Hallo Jester!

Ich bin mit dieser, hier diskutierten Frage, schon öfter konfrontiert worden. Es würde mich ungemein interessieren, wie denn dein Professor die gestellte Aufgabe OHNE Distributionen löst. Wenn es dir also nichts ausmacht, würde ich es begrüssen, wenn du die vom Prof gebotene Lösung hier präsentierst. Vielleicht gibt es ja einen akzeptablen Kompromiss zwischen mathematischer Exaktheit und Anwendung in der Praxis (zB für die Ingenieure) in dem Sinne, dass man auf die fehlende Strenge der Mathematik hinweist, aber gleichzeitig ein Rezept anbietet, von dem man weiss, dass es funktioniert.

Gruss yeti

17.01.2008, 08:29

Jester

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Also bei uns wurde die Distributionstheorie als eigenes Thema, leider nur angerissen. Das z.B. irgendeine Testfunktion mit einer sehr "glatten" (Funktion die im Grenzbereich stärker gegen Null geht als jede Potenz) Funktion gewichtet wird. Das haben wir dann Distribution genannt und dann wurde noch kurz die Deltadistribution eingeführt, dass diese aus verschiedenen Funktionen entsteht (Gaußglocke, Lorenzkurve, Rect, Sinc).

Als mein Mathelehrer die Fouriertransformierte des Kosinus ausgerechnet hat war ich leider nicht da, aber ich vermute stark das er kein Beweis durchgeführt hat sondern nur mit irgendwelchen Sätzen der Fouriertransformation um sich geworfen hat, und dann zum Ergebnis kam. Aber ich versuch mir die Unterlagen dieser Std zu besorgen.

Mfg Jester

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