Frage zu Grenzverhalten eines Graphen

27.05.2005, 15:18

mercany

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Frage zu Grenzverhalten eines Graphen

Wie kann ich den Verlauf des Graphen anhand von lim aufschreiben?

Meine Lehrerin benennt das immer mit "von links unten nach rechts oben", jedoch find ich das nen bischen albern und mathematisch wirds doch sicherlich auch so nicht korrekt sein! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kann ich für "von links unten nach rechts oben" folgendes (so in der Art): ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } -f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } f(x) \end{eqnarray*}$

Besten Dank
mercany

27.05.2005, 15:27

FrederikK

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Also ich würde es eher so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x)=-\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } f(x)=\infty \end{eqnarray*}$

Deins kann aber genausogut sein... glaube ich *g*

Frederik

27.05.2005, 15:31

mercany

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Deshalb frage ich ja!
Ich weis ja nicht wie es heißen soll, habe mir das oben geschriebene eben nur so gedacht, und wollte wissen ob man das auf diese Art ausdrücken darf.

Also war meins nur fast richtig! smile

smile

Gruss
mercany

27.05.2005, 15:37

FrederikK

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Also das "von links unten nach recht oben" beschreibt es meiner Meinung nach allemal besser als der Text selber Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum fragst du deine Lehrerin denn nicht mal Augenzwinkern

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Sie muss sich ja schließlich etwas dabei denken Augenzwinkern

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Ich nehme mal an, dass es für Leute die nix mit Mathe am Hut haben leichter verständlich ist!

Also falls du das irgendwie in einer Klausur schreiben willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Frag lieber mal nach *g* Lehrer sind da ja meist sehr eigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Frederik

27.05.2005, 15:38

therisen

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Zitat:

Original von mercany
Ich weis ja nicht wie es heißen soll, habe mir das oben geschriebene eben nur so gedacht, und wollte wissen ob man das auf diese Art ausdrücken darf.

Deine Schreibweise oben sagt überhaupt nichts über den Verlauf des Graphen aus. Sie besagt nur, dass du das Grenzverhalten des Graphen im Unendlichen untersuchen willst, allerdings darfst du da auch nicht -f(x) schreiben, denn das wäre eine andere Funktion!

Gruß, therisen

27.05.2005, 15:51

mercany

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@therisen
Okey, wie würde ich es denn dann schreiben, damit es mathematisch korrekt wäre?

Gruss
mercany

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27.05.2005, 16:04

swerbe

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so wie frederikk es schrieb wäre es in ordnung.

was für funktionen sollt ihr denn überhaut untersuchen? ganzrationale funktionen (auf diese würde zumindest deine bisherige beschreibung passen)?

27.05.2005, 16:20

mercany

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@swerbe
Ja!

Wie hieße es denn nach FrederikKs Aussage für "von links oben nach rechts oben" ?

27.05.2005, 16:43

FrederikK

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x)=\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } f(x)=\infty \end{eqnarray*}$

27.05.2005, 19:31

brunsi

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so ich will das mal eben aufgreifen und versuchen zu verdeutlichen:

daszu nehme ich dieses grenzverhalten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } f(x)=\infty \end{eqnarray*}$

hier sollst du ja untersuchen, wenn $\begin{eqnarray*} x--->+\infty \end{eqnarray*}$ läuft, d.h. du beginnst, wenn der Definitionsbereich es nicht ausschließt mit dem x-Wert 0 und gehts dann auf der x-achse immer weiter nach rechts (die x-Werte werden also immer größer!!), dementsprechend ändern sich auch die Funktionswerte, wenn du den x-Wert erhöhst.

Es kommt wie gesagt auf die Funktion, die du untersuchen sollst an. geht man z.B. von der einfachsten Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ aus, so siehst du dass diese Funktion, wenn $\begin{eqnarray*} x-->+\infty \end{eqnarray*}$ strebt keinen grenzwert hat, also in diesem fall von 0 an kontinuierlich ansteigt (von 0 nach rechts oben)

schreib bitte mal rein, welche funktion du untersuchst, dann können wir dir genau sagen, was du zu tun hast.

mfg dennis

27.05.2005, 20:55

pfnuesel

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Also "von links unten nach rechts oben" verstehe ich so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } f(x)=+\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel. Ist so etwas gemeint?

27.05.2005, 21:00

brunsi

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antwort
das ist doch das gleiche in grün, was ich dir hingeschrieben habe. ich hab das halt nur in eine richtung laufen lassen.

aber bei dieser funktion ist es richtig, dass wenn die x-Werte gegen -unendlich streben, dass danna cuh die funktion gegen -unendlich strebt (also ein von 0 nach links unten verlaufenender graph entsteht).

Lufen bei dieser FUnktion die x-Werte gegen +unendlich, so strebt auch f(x) gegen +unendlich (also ein von 0 nach rechts oben verlaufender Graph)

Fazit: man kann sagen, dass die funktion hier von links unten nach rechts oben verläuft, wobei sie durch den Ursprung läuft.

27.05.2005, 23:49

mercany

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Ist kene spezielle Funktion, die ich gerade untersuche - es war eigentlich ne allgemeine Frage.

Ich könnte jetzt ja z.B. mal $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 + 3x^2 - 7 \end{eqnarray*}$ nehmen.
Jetzt würde ich ja erstmal gucken, wie die Kurve verläuft.
Ist ne Fkt. 4-ten Grades, also kann sie ja nur von "links oben nach rechts oben" oder "links unten nach rechts unten" verlaufen.

Bevor ich das Grenzwertverhalten jetzt aber aufschreibe, müsste ich ja aber erstmal genau wissen, wie sie verläuft. Also unten-unten oder oben-oben.

Da a > 0 hätte ich jetzt mal gesagt, der Graph steigt!
Aber wenn ich mir die Skizze angucke, dann fällt er ja... wo liegen da die Kriterien?!?

@brunsi
Könntest du deine Aussage oben nochmal etwas genauer erklären, vielleicht an meiner Beispiel Funktion ?!

Gruss
mercany

28.05.2005, 00:12

FrederikK

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Also bei der Funktion sieht man eigentlich gleich, dass der Graph vom Unendlichen ins unendliche geht. (Exponenten sind positiv und Rechenzeiten +)
Des weiteren kann ich dir jetzt schon sagen, dass der Graph bei (0;-7) ein Tiefpunkt hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

Frederik

Edit: wozu gibts diese schöne Plot-Funktion? *g*

28.05.2005, 00:20

mercany

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Wenn du mir jetzt noch erklären könnten, was bei an einer Fkt. auf welche Eigenschaften hindeutet, dann könnte ich deine Aussage auch nachvollziehen!

Ne allgemeingültige Aussage wäre ganz nett, dann kann ichs auch auf andere Fkt. übertragen.

Gruss
mercany

28.05.2005, 00:38

FrederikK

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Na ja.. also um das grenzverhalten zu überprüfen kannst du ja deine Bedingung einfach mal testen!

Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm\infty} \end{eqnarray*}$

wenn der Wert für $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ extrem hoch wird, dann kommt der Graph aus dem unendlichen. Wenn der Wert extrem klein wird, dass kommt er aus dem unendlich kleinen.

für $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ muss der Wert extrem hoch werden, damit der Graph ins Unendliche geht und extrem klein damit er ins extrem kleine geht.

Allerdings muss der Graph ja nicht unbedingt ins unendliche gehen!

Nullstellen, Extrema und Wendestellen kann man aber meinst nicht so unmittelbar erkennen.
Man kann lediglich aussagen darüber treffen, wie viele Nullstellen/Extrema/Wendestellen es maximal gibt!

Bei einer Funktion 4-ten Grades gibt es max. 4 Nullstellen, max 3 Extrema und max 2 Wendestellen!

Frederik

Edit:
Bei deiner Funktion habe ich die Aussage so schnell treffen können, weil egal welche Zahl du für x (in die Terme mit x) einsetzt das Ergebnis immer positiv wird! (Aufgrund der Graden Exponenten)
Die Terme werden am kleinsten, wenn x = 0 ist! Dann werden Die Terme nämlich auch 0. Wenn man dann noch die -7 beachtet ergibt das für f(0)=-7. Da das der kleinste Funktionswert sein muss, ist es natürlich auch ein Minimum!

28.05.2005, 00:47

mercany

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Super, danke!

Der Koeffizient vor dem x mit höchsten Potenz sagt mir aber nichts über den Verlauf aus?

28.05.2005, 00:54

sqrt(2)

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Doch, sicher. Wenn er negativ ist, ist die ganze Funktion an der x-Achse gespiegelt; oben wird zu unten und unten zu oben.

28.05.2005, 00:55

FrederikK

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Doch schon... siehe oben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und außerdem: Bei höheren Beträgen ist der Graph gestaucht, bei kleinen Beträgen ist der Graph gestreckt!

Frederik

28.05.2005, 00:58

mercany

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Es kann mir aber nichts darüber aussagen, ob der Graph als erstes steigt, oder fällt?

Weil dadurch könnte ich den Verlauf ja sofort herausbekommen...

28.05.2005, 01:01

FrederikK

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Nein, dass kann man so Pauschal nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Frederik

28.05.2005, 01:08

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm....

also irgendwie ist mir das noch nicht so deutlich, wie ich einer Fkt. entnehme, wo sie startet und wo sie endet?!?

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

28.05.2005, 01:08

sqrt(2)

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Bei ganzrationalen Polynomen bestimmt die höchste Potenz zusammen mit ihrem Koeffizienten sehr wohl eindeutig das Verhalten gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ . Eine gerade Potenz sagt, dass zu beiden Seiten der Grenzwert gleich ist, eine ungerade, dass er unterschiedlich ist. Ist der Koeffizient negativ, kommt ein gerades Polynom von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und ein ungerades von $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , bei positivem Koeffizienten verhält es sich genau andersherum. Graphen ganzrationaler Polynome sind dadurch in ihrem Verhalten an den Grenzen eindeutig bestimmt.

28.05.2005, 01:09

phi

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Nur das Vorzeichen der höchsten Potenz, wie sqrt(2) schon gesagt hat.

z.B f(x)=-5x^3 + x^2 -9 ; da sieht man sofort das es von links oben nach rechts unten geht. Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x)= \infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= -\infty \end{eqnarray*}$

28.05.2005, 01:11

FrederikK

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hmm.. habe das grade mal ausprobiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und irgendwie haben die anderen Recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gut zu wissen... wieder was dazugelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sorry

Frederik

28.05.2005, 01:16

mercany

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Besten Dank an Alle!
Jetzt ist mir das Ganze richtig klar gewordern.... smile

smile

Liebe Grüße
Jan

28.05.2005, 01:21

phi

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Gern geschehen! Gute Nacht, oder frohes Feiern... Schläfer

Schläfer

28.05.2005, 08:57

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

dann noch ein kleiner zusatz, wenn du das schon soweit verstanden hast.

es kommt natürlich auch immer drauf an, in welchem INtervall du das untersuchen sollst bzw. ob aufgrund des Definitionsbereichs irgendwelche Polstellen entstehen.

Bei Polstellen musst du auch das Grenzverhalten an diese untersuchen. also es geht nicht immer gegen +- unendlich. imm r genau drauf achten, was du schon vorher über die funktion weißt.

28.05.2005, 10:44

mercany

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Guten Morgen,

danke brunsi!

könntest du das mit der pollstelle nochmal etwas genauer erklären?
Pollstellen hatten wir noch nicht... Eine Pollstelle liegt doch vor, wenn die Wertebeträge der Fkt. in der Umgebung dieser Stelle gegen unendlich streben?!

Noch nebenbei eine Frage zu Grenzwerten, die mir gestern noch eingefallen ist.
Mir sind folgende Schreibweisen bekannt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$

Wo liegt da der Unterschied?
Also das untere bedeutet doch soviel wie, dass x den Wert 0 annehmen kann.
Das obere, dass x gegen unendlich strebt?

Oder liegen da noch weitaus größere Unterschiede?

Besten Dank
mercany

28.05.2005, 12:12

phi

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Moin mercany, Wink

Wink

Witzigerweise hängen deine beiden Fragen sehr eng zusammen. Eine Polstelle entsteht meistens dadurch, das die Funktion ein Bruch ist und wenn an irgendeine Stelle Null im Nenner steht geht f(x) gegen + oder - unendlich.

Einfachstes Beispiel: f(x)=1/x, wenn x gegen Null geht, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{\mid x\mid \to 0} \frac{1}{x} = \mid \infty \mid \end{eqnarray*}$ . Bei x=0 ist also eine Polstelle.

Die Betragsstriche stehen da, weil es auch darauf ankommt, von welcher Seite du dich der Null näherst; von links, also von -x, oder von rechts, also von +x ( oder einfach nur x), in Symbolen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{-x\to 0} \frac{1}{x} = -\infty \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \lim_{+x\to 0} \frac{1}{x} = +\infty \end{eqnarray*}$ .

(1 geteilt durch -0,000 001 ist gleich -1 000 000, und 1 geteilt durch 0,000 001 ist gleich +1 000 000).

Es muss nicht immer an der Stelle Null ein Pol sein: Bei 1/(x-1) wäre die Polstelle wo?...

28.05.2005, 12:35

mercany

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Moin phi!

Zitat:

Original von phi
Bei 1/(x-1) wäre die Polstelle wo?...

Logischerweise wohl bei $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ ?!

Irgendwie habe ich aber aus deiner Erklärung keine richtige Antwort für meine Frage bzgl. der beiden oben genannten Schreibweisen ersehen.
Bin ich blind? Big Laugh

Big Laugh

Besten Dank
mercany

28.05.2005, 12:56

phi

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x=1 ist eine Polstelle, richtig. Es könnte auch ein beliebiges a sein: g(x)=1/(x-a)

Zitat:

Original von mercany
1) Eine Pollstelle liegt doch vor, wenn die Wertebeträge der Fkt. in der Umgebung dieser Stelle gegen unendlich streben?!

Noch nebenbei eine Frage zu Grenzwerten, die mir gestern noch eingefallen ist.
Mir sind folgende Schreibweisen bekannt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$

2) Wo liegt da der Unterschied?
3)Also das untere bedeutet doch soviel wie, dass x den Wert 0 annehmen kann.
4) Das obere, dass x gegen unendlich strebt?

5) Oder liegen da noch weitaus größere Unterschiede?

1) Ja.

2) Beispiel: f(x)=x. Also ob du nun x oder unendlich einsetzt macht doch einen großen Unterschied, oder?

3) x kann immer den Wert 0 annehmen, nur kann man niemals durch 0 teilen.

4) Ja.

5) Noch größere als bei 2), nein; siehe 2)

28.05.2005, 13:03

mercany

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Jupp, hast recht phi!
Ist doch nen enormer Unterschiede... immerhin war es teilweise richtig, was ich mir dazu gedacht habe. smile

smile

Besten Dank nochmal an Alle
mercany

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